Bonjour ;
1.
Soient a et b deux nombres réels positifs .
On a : (√a - √b)² ≥ 0 ;
donc : (√a)² + (√b)² - 2(√a)(√b) ≥ 0 ;
donc : a + b - 2√(ab) ≥ 0 ;
donc : a + b ≥ 2√(ab) .
2.
Si de plus a et b sont strictement positifs ;
on a : a + 1 ≥ 2√a et b + 1 ≥ 2√b ;
donc : (a + 1)/(√b) ≥ 2(√a)/(√b) et (b + 1)/(√a) ≥ 2 (√b)/(√a) ;
donc : (a + 1)/(√b) + (b + 1)/(√a) ≥ 2(√a)/(√b) + 2 (√b)/(√a) ;
donc : (a + 1)/(√b) + (b + 1)/(√a) ≥ 2((√a)/(√b) + (√b)/(√a)) ;
donc : (a + 1)/(√b) + (b + 1)/(√a) ≥ 2((√a)² + (√b)²)/((√a)(√b)) ;
donc : (a + 1)/(√b) + (b + 1)/(√a) ≥ 2(a + b)/√(ab) ≥ 2 (2√(ab))/√(ab) = 4 ;
donc : (a + 1)/(√b) + (b + 1)/(√a) ≥ 4 .
3.
Soient x et y respectivement la longueur et largeur du champ .
On a : p = 2(x + y) = 340 ;
donc : x + y = 340/2 = 170 ;
donc : y = 170 - x ;
donc l'aire du champ est : xy = x(170 - x) = 170x - x² .
On a : - x² + 170x = - x² + 2 * 85 * x = - (x² - 2 * 85 * x)
= - (x² - 2 * 85 * x + 85² - 85²) = - (x² - 2 * 85 * x + 85²) + 85²
= 85² - (x - 85)² = 7225 - (x - 85)² .
Cette expression est maximale si (x - 85)² = 0 ;
donc si : x - 85 = 0 ; donc si : x = 85 .
Cette valeur maximale est 7225 - 0 = 7225 .
L'aire maximale du champ est : 7225 m² .
