Réponse :
Explications étape par étape
1) l'ensemble de définition de doit être tel que V(x)>ou=0 avec x>0.
on le précisera ultérieurement .
2a)Aire de la boîte S=4x²+6x*h (aires fond +couvercle +aire latérale)
2b)on sait que S=240cm² donc h=(240-4x²)6x=40/x-2x/3
3)le volume de la boîte est V(x)= aire de la base *hauteur
V(x)=2x²( 40/x-2x/3)=80x-4x³/3
4)étude de V(x) sur son Df
V(x) doit être >ou=0 avec x>ou=0
V(x)=4x(20-x²/3) V(x)=0 pour x=0 et x=rac60=4rac15
tableau de signes de V(x)
x 0 rac60 +oo
4x 0..............+....................................+...............
20-x²/3 ................+......................0................-..............
V(x) ..0............+.......................0.................-.........
donc Df [0;rac60]
Etude de V(x)=80x-4x²/3
V(0)=0 et V(rac60)=0
dérivée
V'(x)=80-4x² v'(x)=0 pour x=rac20=2rac5 (l'autre solution étant <0 donc éliminée)
Tableau de signes de V'(x) et de variations de V(x)
x 0 2rac5 rac60
V'(x).............+.....................0..................-.....................
v(x) 0........croi...............V(2rac5)........décroi..........0
le volume max est V(2rac5)=........
Vérification: j'ai calculé l'aire d'une telle boîte et j'ai trouvé 240cm².
A confirmer.