Zoofast.fr vous connecte avec des experts prêts à répondre à vos questions. Nos experts fournissent des réponses précises et rapides pour vous aider à comprendre et à résoudre n'importe quel problème que vous rencontrez.
Sagot :
Réponse : Bonjour,
Exercice 66
1) On a:
[tex]\displaystyle f(4+\frac{4}{3})=\frac{1}{4+\frac{4}{3}}=\frac{1}{\frac{12+4}{3}}=\frac{1}{\frac{16}{3}}=\frac{3}{16}\\f(4) \times f(\frac{4}{3})=\frac{1}{4} \times \frac{1}{\frac{4}{3}}=\frac{1}{4} \times \frac{3}{4}=\frac{3}{16}\\Donc \; f(4+\frac{4}{3})=f(4) \times f(\frac{4}{3})[/tex]
Donc le couple [tex]\displaystyle (4;\frac{4}{3})[/tex] satisfait (F).
On a:
[tex]\displaystyle f(-4+\frac{4}{5})=\frac{1}{-4+\frac{4}{5}}=\frac{1}{\frac{-20+4}{5}}=\frac{1}{\frac{-16}{5}}=-\frac{5}{16}\\f(-4) \times f(\frac{4}{5})=-\frac{1}{4} \times \frac{1}{\frac{4}{5}}=-\frac{1}{4} \times \frac{5}{4}=-\frac{5}{16}\\Donc \; f(-4+\frac{4}{5})=f(-4) \times f(\frac{4}{5})[/tex]
Donc le couple [tex]\displaystyle (-4;\frac{4}{5})[/tex] satisfait (F).
2) Déterminons a pour que le couple (a;3) vérifie (F):
[tex]\displaystyle f(a+3)=\frac{1}{a+3}\\f(a) \times f(3)=\frac{1}{a} \times \frac{1}{3}=\frac{1}{3a}\\Donc \; \frac{1}{a+3}=\frac{1}{3a} \Leftrightarrow \frac{3a-(a+3)}{3a(a+3)}=0 \Leftrightarrow \frac{3a-a-3}{3a(a+3)}=0 \Leftrightarrow \frac{2a-3}{3a(a+3)}=0 \\ \Leftrightarrow 2a-3=0 \Leftrightarrow 2a=3 \Leftrightarrow a=\frac{3}{2}[/tex]
Donc le couple [tex]\displaystyle (\frac{3}{2};3)[/tex] vérifie (F).
3) Montrons qu'il n'existe pas de couple (1;b), vérifiant (F):
[tex]\displaystyle f(1+b)=\frac{1}{1+b}\\ f(1) \times f(b)=\frac{1}{1} \times \frac{1}{b}=\frac{1}{b}\\\frac{1}{1+b}=\frac{1}{b} \Leftrightarrow \frac{1}{1+b}-\frac{1}{b}=0 \Leftrightarrow \frac{b-(1+b)}{b(1+b)}=0 \Leftrightarrow \frac{b-1-b}{b(1+b)}=0 \Leftrightarrow -\frac{1}{b(1+b)}=0[/tex]
Or cette dernière équation [tex]\displaystyle -\frac{1}{b(1+b)}=0[/tex], n'a pas de solution, donc il n'existe pas de couple (1;b), vérifiant (F).
4) Soit [tex]a \ne 1[/tex], et [tex]b \in \mathbb{R}^{*}[/tex], et déterminons tous les couples (a;b), vérifiant (F):
[tex]\displaystyle f(a+b)=\frac{1}{a+b} \\f(a) \times f(b)=\frac{1}{a} \times \frac{1}{b}=\frac{1}{ab}\\\frac{1}{a+b}=\frac{1}{ab} \Leftrightarrow \frac{1}{a+b}-\frac{1}{ab}=0 \Leftrightarrow \frac{ab-(a+b)}{ab(a+b)}=0 \Leftrightarrow \frac{ab-a-b}{ab(a+b)}=0 \\ \Leftrightarrow ab-a-b=0 \Leftrightarrow b(a-1)=a \Leftrightarrow b=\frac{a}{a-1}[/tex]
Donc tous les couples solutions sont:
[tex]\displaystyle \{a \in \mathbb{R}^{*}, a\ne 1, (a;\frac{a}{a-1})\}[/tex]
Votre participation nous est précieuse. Continuez à partager des informations et des solutions. Cette communauté se développe grâce aux contributions incroyables de membres comme vous. Trouvez toutes vos réponses sur Zoofast.fr. Merci de votre confiance et revenez pour plus d'informations.