mariannewrch
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Bonjour, voilà j'ai ce dm à faire et je dois avouer que je ne comprend pas, je suis en terminale S, toute aide est la bienvenue merci d'avance

Pour tout entier naturel n, on note fn la fonction définie par :
fn(x) = In(x) /x^n
pour tout nombre réel x dans l'intervalle ]0; + [.
1. Déterminer la limite de fn quand x tend vers 0, puis quand x tend
vers +ool.
2. Calculer la dérivée de fn puis dresser le tableau de variations de fn
sur ]0; +ool.
3. En déduire que fn admet un maximum Yn sur ]0; +00[, atteint en un
nombre xn à déterminer.
4. Les points An(In; Yn) (pour n entier naturel non nul) sont-ils alignés ?​

Bonjour Voilà Jai Ce Dm À Faire Et Je Dois Avouer Que Je Ne Comprend Pas Je Suis En Terminale S Toute Aide Est La Bienvenue Merci Davance Pour Tout Entier Natur class=

Sagot :

Réponse : Bonsoir,

1)

[tex]\lim_{x \mapsto 0} \ln(x)=-\infty \quad \lim_{x \mapsto 0} x^{n}=0\\Donc \; \lim_{x \mapsto 0} f_{n}(x)=-\infty[/tex]

Par croissante comparée, pour tout entier naturel n:

[tex]\displaystyle \lim_{x \mapsto +\infty} \frac{\ln(x)}{x^{n}}=0[/tex]

Par suite, [tex]\lim_{x \mapsto +\infty} f_{n}(x)=0[/tex]

2)

[tex]\displaystyle f'_{n}(x)=\frac{\frac{1}{x} \times x^{n}-nx^{n-1}\ln(x)}{(x^{n})^{2}}=\frac{x^{n-1}-nx^{n-1}\ln(x)}{x^{2n}}=\frac{x^{n-1}(1-n\ln(x))}{x^{2n}}[/tex]

Sur l'intervalle ]0;+∞[, [tex]f'_{n}(x)[/tex], est du signe de [tex]1-n\ln(x)[/tex].

Etudions donc son signe:

[tex]1-n \ln(x) \geq 0\\n\ln(x) \leq 1\\\ln(x) \leq \frac{1}{n}\\e^{\ln(x)} \leq e^{\frac{1}{n}}\\x \leq e^{\frac{1}{n}}[/tex]

On a donc le tableau suivant:

x              0                                       [tex]e^{\frac{1}{n}}[/tex]                                         +∞

[tex]f'_{n}(x)[/tex]                            +                    Ф                     -

[tex]f_{n}(x)[/tex]            (croissant)                     [tex]y_{n}[/tex]    (décroissant)

3) D'après le tableau de variations précédent, on en déduit que [tex]f_{n}[/tex] a un maximum en [tex]x_{n}=e^{\frac{1}{n}}[/tex], et ce maximum [tex]y_{n}[/tex], vaut:

[tex]\displaystyle y_{n}=f(x_{n})=f(e^{\frac{1}{n}})=\frac{\ln(e^{\frac{1}{n}})}{(e^{\frac{1}{n}})^{n}}=\frac{\frac{1}{n}}{e}=\frac{1}{ne}[/tex]

4) Regardons si les vecteurs [tex]\overrightarrow{A_{1}A_{2}}[/tex] et [tex]\overrightarrow{A_{2}A_{3}}[/tex], sont colinéaires.

On a:

[tex]A_{1}(e;\frac{1}{e}), A_{2}(e^{\frac{1}{2}};\frac{1}{2e}), A_{3}(e^{\frac{1}{3}}; \frac{1}{3e})\\\overrightarrow{A_{1}A_{2}}(e^{\frac{1}{2}}-e;\frac{1}{2e}-\frac{1}{e})=(e^{\frac{1}{2}}-e;-\frac{1}{2e}) \\\overrightarrow{A_{2}A_{3}}(e^{\frac{1}{3}}-e^{\frac{1}{2}};\frac{1}{3e}-\frac{1}{2e})=(e^{\frac{1}{3}}-e^{\frac{1}{2}};-\frac{1}{6e})\\(e^{\frac{1}{2}}-e) \times -\frac{1}{6e}+\frac{1}{2e}(e^{\frac{1}{3}}-e^{\frac{1}{2}})=\frac{e-e^{\frac{1}{2}}+3e^{\frac{1}{3}}-3e^{\frac{1}{2}}}{6e}[/tex]

[tex]=\frac{e-4e^{\frac{1}{2}}+3e^{\frac{1}{3}}}{6e}=\frac{e(1-4e^{-\frac{1}{2}}+3e^{-\frac{2}{3}})}{6e}=\frac{1-4e^{-\frac{1}{2}}+3e^{-\frac{2}{3}}}{6}[/tex]

A la calculatrice, [tex]1-4e^{-\frac{1}{2}}+3e^{-\frac{2}{3}} \ne 0[/tex], donc [tex]\frac{1-4e^{-\frac{1}{2}}+3e^{-\frac{2}{3}}}{6} \ne 0[/tex].

Les vecteurs [tex]\overrightarrow{A_{1}A_{2}}[/tex] et [tex]\overrightarrow{A_{2}A_{3}}[/tex], ne sont pas colinéaires, donc pour tout entier naturel n non nul, les points [tex]A_{n}[/tex], ne sont pas alignés.

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