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Sagot :
Réponse :
1) calculer les coordonnées du point M tel que vec(AM) = 2vec(MC)
soit M(x ; y)
vec(AM) = (x + 4 ; y - 1)
vec(MC) = (5 - x ; - 2 - y) ⇒ 2 *vec(MC) = (2(5 - x) ; 2(- 2 - y))
= (10 - 2 x ; - 4 - 2 y)
donc (x + 4 ; y - 1) = (10 - 2 x ; - 4 - 2 y)
⇔ x + 4 = 10 - 2 x ⇔ 3 x = 6 ⇔ x = 6/3 = 2
y - 1 = - 4 - 2 y ⇔ 3 y = - 3 ⇔ y = - 1
les coordonnées de M sont : M(2 ; - 1)
2) montrer que ABCD est un parallélogramme
il suffit de montrer que les diagonales AC et BD ont le même milieu
milieu de (AC) : ((5- 4)/2 ; (- 2+1)/2) = (1/2 ; - 1/2)
// de (BD) : ((-7+8)/2 ; (- 6+5)/2) = (1/2 ; - 1/2)
les diagonales AC et BD ont le même mileu donc ABCD est un parallélogramme
3) calculer les coordonnées du milieu E du segment (CD)
E milieu du segment (CD) ⇒ E((-7+5)/2 ; (-6-2)/2) =E(- 1 ; - 4)
4) montrer que les points E , M et B sont alignés
il faut montrer que les vecteurs EM et MB sont colinéaires
ssi x'y-y"x = 0
vec(EM) = (2+1 ; - 1+4) = (3 ; 3)
vec(MB) = (8 - 2 ; 5 + 1) = (6 ; 6)
6*3 - 6*3 = 0 les vecteurs EM et MB sont colinéaires, donc on en déduit que les points E ; M et B sont alignés
5) P est un point d'ordonnée 4, sachant que les droites (DP) et (BE) sont //
calculer l'abscisse du point P
on peut écrire donc que les vecteurs DP et BE sont colinéaires
P(x ; 4)
vec(DP) = (x + 7 ; 4+6) = (x+7 ; 10)
vec(BE) = (- 1 - 8 ; - 4 - 5) = (- 9 ; - 9)
X'Y - Y'X = 0 ⇔ (x+7)*(-9) - 10*(-9) = 0 ⇔ - 9 x - 63 + 90 = 0
⇔ - 9 x + 27 = 0 ⇔ x = 27/9 = 3
donc l'abscisse du point P est : 3 donc P(3 ; 4)
Explications étape par étape
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