Réponse :
Explications étape par étape
tout d abord que savons nous de la monotonie de la fonction qui a tout x reel associe sin(x)
(1) pour -pi/2 <= x <= pi/2 la fonction est croissante de -1 a 1
(2) pour pi/2 <= x <= 3pi/2 la fonction est decroissante de 1 a -1
je conseille des faire des schemas pour se faire une idee des differents exemples
ok donc maintenant attaquons
question 1 -
cela veut dire que pi/4 <= x <= pi/2
on est dans l intervalle (1) donc sin est croissante et on peut donc ecrire
sin(pi/4) <= sin(x) <= sin(pi/2)
or sin(pi/2) = 1 et sin(pi/4) = 1/2 donc
1/2 <- sin(x) <= 1
question 2 -
cela veut dire que 2pi/3 <= x <= 7pi/6
donc nous sommes sur deux intervalles (2)
sin(7pi/6) <= sin(x) <= sin(2pi/3)
or sin(7pi/6) = sin(pi-7pi/6)=sin(-pi/6) = -sin(pi/6) = -1/2
et sin(2pi/3)=sin(pi-2pi/3)=sin(pi/3)=(racine carree de 3 )/2
donc
-1/2 <= sin(x) <= (racine carree de 3 )/2
question 3 -
-pi/6 <= x <= pi/6
on est dans l intervalle (1) donc
sin(-pi/6) <= sin(x) <= sin(pi/6)
-1/2 <=sin(x) <= 1/2
question 4 -
pi/3 <= x <= 2pi/3
on est a cheval sur les deux intervalles donc on va travailler en deux etapes
etape 1
pi/3 <= x <= pi/2
sin est crossante donc
sin(pi/3) <= sin(x) <= sin(pi/2)
(racine carree de 3 )/2 <= sin(x) <=1
etape 2
pi/2 <= x <= 2pi/3
sin est decroissante donc
sin(2pi/3) <= sin(x) <= sin(pi/2)
(racine carree de 3 )/2 <= sin(x) <= 1
on en conclut que
(racine carree de 3 )/2 <= sin(x) <=1
