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Réponse :
Bonjour
Explications étape par étape
1) Soit P(n) la propriété : U(n) =2^n+2 +3
Initialisation
U(0) = 7 et 2^0+2 +3 = 4+3 = 7
P(0) est vraie
Hérédité
U(n+1) = 2U(n) - 3
⇔ U(n+1) = 2(2^n+2 + 3) - 3 (hyp de récurrence)
⇔ U(n+1) = 2^n+3 +6 - 3
⇔ U(n+1) = 2^n+3 + 3
P(n+1) est vraie, P(n) est donc héréditaire
Conclusion
Pour tout n≥0 , U(n) = 2^n+2 + 3
2) Soit P(n) la propriété :2^n ≥ n² + 5n pour tout n ≥ 7
Init.
2^7 = 128 et 7² + 5×7 = 84 ⇔ 2^7 ≥ 7² + 5×7
⇔ P(7) est vraie
Hérédité
Soit un certain n tel que 2^n ≥ n² + 5n
Montrons que 2^n+1 ≥ (n+1)² +5(n+1) ⇔ 2^n+1 ≥ n²+ 7n + 6
2^n ≥ n² + 5n (H.R)
⇔ 2×2^n ≥ 2(n² + 5n)
⇔ 2^n+1 ≥ 2n² +10n
comparons 2n² + 10n et n² + 7n + 6
Pour cela , calculons leur différence
2n² + 10 n - (n² + 7n + 6) = n² + 3n - 6
Comme n ≥ 7 , n² + 3n - 6 ≥ 0
donc 2n² + 10n ≥ n² + 7n + 6
On a donc 2^n+1 ≥ 2n² + 10n ≥ n² + 7n + 6
⇔ 2^n+1 ≥ n² + 7n +6
⇔2^n+1 ≥ (n+1)² + 5(n+1)
P(n+1) est vraie, donc P(n) est héréditaire
Conclusion
Pour tout n ≥ 7 , 2^n ≥ n² + 5n
