Réponse : Bonjour,
1) On a que [tex]\lim_{x \mapsto 0} f(x)=+\infty[/tex], on en déduit que la droite d'équation x=0, soit l'axe des ordonnées est asymptote à la courbe représentative de f.
De plus, [tex]\lim_{x \mapsto +\infty} f(x)=1[/tex], on en déduit que la droite d'équation y=1, est asymptote à f, au voisinage de +∞.
2) D'après le tableau, f admet un minimum en x=1, qui vaut 0.
On en déduit que pour tout [tex]x \in ]0;+\infty[, f(x) \geq 0[/tex], donc f est positive sur [tex]]0;+\infty[[/tex]
3) f est décroissante sur l'intervalle ]0;1], donc la dérivée f' est négative sur ]0;1].
f est croissante sur [1;+∞[, donc la dérivée f' est positive sur [1;+∞[.
f admet un minimum en x=1, donc f'(1)=0.
4) f est décroissante sur l'intervalle ]0;1], [tex]\lim_{x \mapsto 0} f(x)=+\infty[/tex], et f(1)=0. Puisque f est continue sur ]0;1], alors d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation f(x)=2 admet une solution, sur l'intervalle ]0;1].
f est croissante sur l'intervalle [1;+∞[, f(1)=0, et [tex]\lim_{x \mapsto +\infty} f(x)=1[/tex].
De plus, f est continue sur [1;+∞[, mais d'après ce qui précède, sur l'intervalle [1;+∞[, [tex]0 \leq f(x) \leq 1[/tex], donc f "ne passe pas", par la valeur 2.
Donc l'équation f(x)=2, n'a pas de solution sur l'intervalle [1;+∞[.
Conclusion: L'équation f(x)=2, admet une unique solution sur l'intervalle ]0;+∞[.