Bonsoir,
Soit la fonction B définie sur IR⁺ par B(x) = -2x² + 420x - 7000 représentant le bénéfice en milliers d'euros en fonction du nombre de litres de colle produits.
1) B(180) = -2 * 180² + 420 * 180 - 7000 = 3.800 milliers d'euros.
Le bénéfice réalisé pour 180 litres de colle produits et vendus est de 3.800 milliers d'euros.
2) B(200) = -2 * 200² + 420 * 200 - 7000 = -3.000 milliers d'euros.
L'entreprise est en perte de 3.000 milliers d'euros pour 200 litres de colle produits et vendus.
3)
On cherche quand -2x² + 420x - 7000 = 0:
Le discriminant du polynôme est: 420² - 4 * (-2) * (-7000) = 120.400
L'équation admet deux solutions réelles:
x1 = (-420 - √120.400) / 2*(-2) ≈ 191,75L
x2 = (-420 + √120.400) / 2*(-2) ≈ 18,25L
On obtient le tableau de signe en joint, c'est bien évidement B(x) et non f(x) comme je l'ai marqué. (Rappel, B est du signe de a dans ax² + bx + c = 0 sauf entre les racines)
4)
La fonction B est dérivable sur IR⁺ comme fonction polynomiale et on a pour tout x ∈ IR⁺:
B'(x) = -4x + 420
B'(x) s'annule si -4x + 420 = 0 donc si x = 420/4 = 105.
On a B(105) = -2 * 105² + 420 * 105 - 7000 = 15.050 milliers d'euros
On obtient donc le tableau ci-joint.
Donc l'entreprise réalise un bénéfice maximal de 15.050 milliers d'euros pour une production de 105L de colle.
Bonne soirée,
Thomas
