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Réponse :
Bonjour,
Explications étape par étape
1. Soit a et b deux réels non nuls tels que a≠b et a≠0. n est un entier naturel supérieur ou égal à 1.
Simplifier Sn=1+(a/b)+(a/b )²+(a/b)³+⋯+(a/b)puissance n−1
Le problème qui se pose est que la démonstration d'une somme determes d'une suite géométrique repose sur cette factorisation!
C'est donc le serpent qui se mord la queue...
[tex]a, b \in \mathbb{R}_0, \ n\in \mathbb{N}_0\\S_n=1+\dfrac{a}{b}+(\dfrac{a}{b})^2+(\dfrac{a}{b})^3+...+\dfrac{a}{b})^{n-1}\\\\On\ pose\ x=\dfrac{a}{b}\\\\S_n=1+x+x^2+x^3+...+x^{n-1}\\Calculons\ S_n*(x-1).\\\\\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c}x^n&x^{n-1}&x^{n-2}&....&x^3&x^2&x&1\\&1&1&1&1&...&1&1\\&&&&&&1&-1\\--&--&--&--&--&--&--&--\\&-1&-1&-1&-1&...&-1&-1\\1&1&1&1&...&1&\\--&--&--&--&--&--&--&--\\1&0&0&0&0&...&0&-1\\\end{array}\\\\S_n*(x-1)=x^n-1\\\\[/tex]
[tex](\dfrac{a}{b})^n-1=(\dfrac{a}{b}-1)(1+\dfrac{a}{b}+(\dfrac{a}{b})^2+(\dfrac{a}{b})^3+...+(\dfrac{a}{b})^{n-1})\\\\(\dfrac{1}{b})^{n}*(a^n-b^n)\\=\dfrac{1}{b}*(a-b)*(\dfrac{1}{b})^{n-1}(b^{n-1}+ab^{n-2}+a^2b^{n-3}+....+a^{n-4}b^3+a^{n-3}b^2+a^{n-2}b+a^{n-1})\\\\\boxed{a^n-b^n)=(a-b)*(b^{n-1}+ab^{n-2}+a^2b^{n-3}+....+a^{n-4}b^3+a^{n-3}b^2+a^{n-2}b+a^{n-1})}[/tex]
3)
[tex]a)\\x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)\\\\b)\\x^3-2^3=(x-2)(x^2+x*2+2^2)=(x-2)(x^2+2x+4)\\[/tex]
Je vous laisse le soin de vérifier que les discriminants sont négatifs.
