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Bonsoir. J’ai un exercice auquel je n’arrive pas. Pourriez-vous m’aider svp? Le voici:
En tout point M de l’hyperbole d’équation = 1/x tracée dans un repère orthonormé (O ; I, J), la tangente à la courbe coupe l’axe des abscisses en N et l’axe des ordonnées en P.
Comment varie l’aire du triangle ONP quand M parcourt l’hyperbole ?

Merci d’avance (niveau première s)

Sagot :

caylus

Réponse :

Bonsoir,

Explications étape par étape

Soit M un point de l'hyperbole

[tex]M=(x_0,\dfrac{1}{x_0} )\\Equation \ de\ la\ tangente\ en\ M:\\\\y=\dfrac{1}{x} \\\\\\y'=-\dfrac{1}{x^2} \\\\y-\dfrac{1}{x_0} =-\dfrac{1}{x_0^2} (x-x_0)\\\\y=-\dfrac{1}{x_0^2}*x+x_0*\dfrac{1}{x_0^2} +\dfrac{1}{x_0} \\\\y=-\dfrac{1}{x_0^2}*x+\dfrac{2}{x_0} \\Si\ y=0\ alors\ x=2*x_0\\\\Si\ x=0\ alors\ y=\dfrac{2}{x_0}\\N=(2x_0,0); \ P=(0,\dfrac{2}{x_0})\\\\Aire\ ONP=\dfrac{2x_0*\dfrac{2}{x_0})}{2}=2[/tex]

L'aire du triangle est donc constante et vaut 2.

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