Bonjour ;
Exercice n° 1 .
Les coefficients du vecteur AB sont :
xAB = 1 - (- 4) = 1 + 4 = 5 et yAB = 1 - (- 2) = 1 + 2 = 3 .
Les coefficients du vecteur AC sont :
xAC = 6 - (- 4) = 6 + 4 = 10 et yAC = 3 - (- 2) = 3 + 2 = 5 .
Calculons : xAB * yAC et yAB * xAC .
xAB * yAC = 5 * 5 = 25 et yAB * xAC = 3 * 10 = 30 ;
donc : xAB * yAC ≠ yAB * xAC ;
donc les vecteurs AB et AC ne sont pas colinéaires ;
donc les points A , B et C ne sont pas alignés .
Exercice n° 2.
Soient xD et yD les coordonnées du points D .
Les coefficients du vecteur AB sont :
xAB = - 1 - (- 3) = - 1 + 3 = 2 et yAB = - 2 - 2 = - 4 .
Les coefficients du vecteur DC sont :
xDC = 5 - xD et yDC = - 1 - yD .
ABCD est un parallélogramme , donc on a :
xDC = xAB ; donc : 5 - xD = 2 ; donc : xD = 3 ;
et yDC = yAB ; donc : - 1 - yD = - 4 ; donc : yD = 3 .
Conclusion : Les coordonnées du point D sont : (3 ; 3) .
Exercice n° 3 .
1.
Veuillez-voir le fichier ci-joint .
2.
Les coordonnées du vecteur AB sont :
xAB = 3 - 5 = - 2 et yAB- 4 - 2 = - 6 .
Les coordonnées du vecteur BC sont :
xBC = - 6 - 3 = - 9 et yBC = - 1 - (- 4) = - 1 + 4 = 3 .
Les coordonnées du vecteur AD sont :
xAD = - 1 - 5 = - 6 et yAD = 4 - 2 = 2 .
3.
On a : xBC * yAD = - 9 * 2 = - 18 ;
et : yBC * xAD = 3 * (- 6) = - 18 ;
donc les vecteurs BC et AD sont colinéaires ;
donc les droites (BC) et (AD) sont parallèles .
4.
Soient xI et yI les coordonnées du point I ;
donc on a : xI = (3 + (- 6))/2 = - 3/2 = - 1,5 ;
et yI = (- 1 + (- 4))/2 = - 5/2 = - 2,5 ;
donc les coordonnées du point I sont : (- 1 ,5 ; - 2,5) .
5.
a.
Soient xK et yK les coordonnées du point K ;
donc les coordonnées du vecteur BK sont :
xK - 3 et yK - (- 4) = yK + 4 .
Les coordonnées du vecteur BA sont les opposés
des coordonnées du vecteur AB : (2 ; 6) .
Les coordonnées de la somme des vecteurs
BA et BC sont : 2 - 9 = - 7 et 6 + 3 = 9 ;
donc les coordonnées du tiers de cette somme sont : - 7/3 et 3 .
On a donc : xK - 3 = - 7/3 et yK + 4 = 3 ;
donc : xK = - 7/3 + 3 = 2/3 et yK = 3 - 4 = - 1 .
b.
Les coordonnées du vecteur AK sont :
xAK = 2/3 - 5 = - 13/3 et yAK = - 1 - 2 = - 3 .
Les coordonnées du vecteur AI sont :
xAI = - 3/2 - 5 = - 13/2 et yAI = - 5/3 - 2 = - 9/2 .
On a : xAK = - 13/3 = - 13/2 * 2/3 = 2/3 * xAI ;
et : yAK = - 3 = - 9/2 * 2/3 = 2/3 * yAI ;
donc les vecteurs AK et AI sont colinéaires ;
donc les droites (AK) et (AI) sont parallèles ;
et comme ces deux droites ont un point en commun
qui est le point A , donc elles sont confondues ;
donc les points A , K et I sont les points d'une même
droite , donc ils sont alignés .
