Réponse :
Bonjour: f(x)=1-(lnx)/x² Df=]0;+oo[
Explications étape par étape
1)limite en 0
si x tend vers 0+, -lnx tend vers+oo et x² tend vers 0+ donc f(x) tend vers+oo
interprétation: la droite d'équation x=0 est une asymptote verticale
2)limite en +oo
si x tend vers +oo , -lnx tend vers -oo et x² tend vers +oo mais d'après le th des croissances comparées (-lnx)/x² tend vers 0- alors f(x) tend vers 1-
interprétation: la droite y=1 est une asymptote horizontale.
3a)dérivée (elle est donnée dans la question)
dérivée de 1=0
(-lnx)/x² est de la forme u/v donc sa dérivée est (u'v-v'u)/v²avec
u=-lnx u'=-1/x v=x² v'=2x
ce qui donne f'(x)=[(-1/x)x²-2x(-lnx)]/x^4)=x(-1+2lnx)/x^4=(-1+2lnx)/x³
3b) le signe de cette dérivée dépend uniquement du signe de -1+2lnx car x>0
1-+2lnx=0 soit lnx=1/2 solution x=Ve (racine carrée de e)
Tableau de signes de f'(x) et de variations de f(x)
x 0 Ve +oo
f'(x)......................-.................0................+........................
f(x) II+oo........décroi........f(Ve)..........croi....................1
f(Ve)=1/2e= 0,2 environ
