Réponse :
1) a) pour tout nombre réel h non nul, établir l'égalité
[f(1+h) - f(1)]/h = (5 h + 10)/(2 h² + 4 h + 4)
f(1+h) = (3(1+h)² - 2)/((1+h)² + 1) = (3(1+2 h + h²) - 2)/(1+2 h + h² + 1)
= ((3 + 6 h + 3 h²) - 2)/(h² + 2 h + 2)
= (3 h² + 6 h + 1)/(h² + 2 h + 2)
[f(1+h) - f(1)]/h = [(3 h² + 6 h + 1)/(h² + 2 h + 2)] - 1/2)/h
= 2((3 h² + 6 h + 1)/2(h² + 2 h + 2) - (h² + 2 h + 2)]/2 h(h² + 2 h + 2)
= (6 h² + 12 h + 2 - h² - 2 h - 2)/2 h(h² + 2 h + 2)
= (5 h² + 10 h)/2 h(h² + 2 h + 2)
= h(5 h + 10)/h(2 h² + 4 h + 4)
= (5 h + 10)/(2 h² + 4 h + 4)
b) en déduire la valeur du nombre dérivée f '(1) de la fonction f en 1
f '(1) = lim (f(1+h) - f(1))/h = lim (5 h + 10)/(2 h² + 4 h + 4) = 10/4 = 5/2
h→0 h→0
2) a) déterminer l'équation de la tangente (T) à la courbe Cf au point d'abscisse 1
l'équation de la tangente s'écrit: y = f(1) + f '(1)(x - 1)
f(1) = 1/2 donc y = 1/2 + 5/2(x - 1) = 1/2 + 5/2) x - 5/2 = 5/2) x - 2
l'équation de la tangente (T) est: y = (5/2) x - 2
b) tracer la tangente (T) dans le repère
la tangente (T) passe par les 3 points suivants
(0 ; - 2) ; (4/5 ; 0) et (T) est tangente au point d'abscisse 1 et d'ordonnée 1/2
3) déterminer les coordonnées des différents points d'intersection de (T) et de Cf
on écrit : (3 x² - 2)/(x² + 1) = 5/2) x - 2
⇔ (3 x² - 2)/(x² + 1) - (5/2) x - 2) = 0
⇔ (3 x² - 2)/(x² + 1) - (5/2) x - 2)(x²+1)/(x²+1) = 0
⇔ [3 x² - 2 - ((5/2) x - 2)(x² + 1)]/(x²+1) = 0
⇔ [3 x² - 2 - ((5/2) x - 2)(x² + 1)] = 0
⇔ [3 x² - 2 - ((5/2) x³ + [(5/2) x - 2 x² - 2)]
⇔ 3 x² - 2 - (5/2) x³ - (5/2) x + 2 x² + 2 = 0
⇔ - 5/2) x³ + 5 x² - (5/2) x = 0
⇔ -5/2) x( x² - 2 x + 1) = 0 ⇔ - 5/2) x = 0 ⇔ x = 0 ⇒ y = - 2 ⇒ (0 ; - 2)
x² - 2 x + 1 = (x - 1)² = 0 ⇔ x = 1 ⇒ y = 1/2 ⇒ (1 ; 1/2)
Explications étape par étape
