Réponse :
1) déterminer, en fonction de x, les coordonnées des points A, B et C
A(x ; x²) ; B(12 ; x²) C(12 - x ; 0)
2) montrer que l'aire du rectangle MABC est égale à -x³ + 12 x²
MA² = (x - x)² + (x² - 0)² = (x²)² ⇒ MA =√( x²)² = x²
AB² = (12 - x)² + (x² - x²)² = (12 - x)² ⇒ AB = √(12-x)² = 12 - x
l'aire du rectangle ABCM est: A = MA * AB = x²*(12 - x) = 12 x² - x³
3) soit f(x) = - x³ + 12 x définie sur [0 ; 12]
a) déterminer f '(x) et étudier son signe
f '(x) = - 3 x² + 24 x
pour étudier son signe il faut que f '(x) = 0 = - 3 x² + 24 x ⇔ 3 x (- x + 8) = 0
⇔ x = 0 ou - x + 8 = 0 ⇔ x = 8
x 0 8 12
f '(x) + 0 -
b) étudier les variations de la fonction f sur [0 ; 12]
x 0 8 12
f(x) 0 →→→→→→→→→→→ →→ 256 →→→→→→→→→→ 0
croissante décroissante
4) déterminer la position du point M rendant l'aire du rectangle MABC maximale et préciser cette aire
pour x = 8 l'aire de MABC est maximale cette aire est de 256
Explications étape par étape
