Réponse :
2) déterminer a et b entiers tels que (a + b√7)² = 88 - 30√7
(a + b√7)² = a² + 2ab√7 + 7b² = 88 - 30√7
⇔ a²+ 7b² = 88 et 2ab = - 30 ⇔ ab = - 15 ⇔ a = - 15/b b ≠ 0
(- 15/b)² + 7b² = 88 ⇔ 225/b² + 7b² = 88 ⇔ 225 + 7b⁴ = 88b²
⇔ 7b⁴ - 88 b² + 225 = 0
on pose B = b² ; on obtient : 7B² - 88B + 225 = 0
Δ = 7744 - 6300 = 1444 ⇒ √Δ = 38
B1 = (88+38)/14 = 9
B2 = (88 - 38)/14 = 25/7 n'est pas un entier donc ne convient pas
b² = 9 ⇔ b²- 9 = 0 ⇔ b² - 3² = 0 identité remarquable a²-b² = (a+b)(a-b) ⇔ (b + 3)(b - 3) = 0 ⇔ b = 3 ⇒ a = - 15/3 = - 5
ou b = - 3 ⇒ a = 5
en déduire une écriture simplifiée de √(88 - 30√7)
or (5 - 3√7)² = 88 - 30√7 ⇔ √(88 - 30√7) = √(5 - 3√7)² = 5 - 3√7
on peut aussi écrire : (- 5 + 3√7)² = 88 - 30√7 ⇔√(88 - 30√7) = √(-5 + 3√7)² = -5 + 3√7
Explications étape par étape