bjr
e)
f(x) = (x² - 4x + 9) / (4 - x) sur ]- 4 ; + ∞ [
formule de dérivation d'un quotient
(u / v)' = (u'v - u v') / v²
u = x² - 4x + 9 u' = 2x - 4
v = 4 - x v' = - 1
u'v - uv' = (2x - 4)(4 -x) - (x² - 4x + 9)(- 1)
= 8x - 2x² - 16 + 4x + x² - 4x + 9
= -x² + 8x - 7
f'(x) = (-x² + 8x - 7) / (4 - x)²
pour étudier le signe d'une fraction rationnelle il faut qu'elle soit factorisée
On factorise le numérateur
(-x² + 8x - 7) ce polynôme admet 1 pour racine (- 1 + 8 - 7 = 0)
l'autre est égale à c/a soit - 7 / -1 = 7
ses racines sont 1 et 7
-x² + 8x - 7 = - (x - 1)(x - 7)
le signe de f'(x) est celui de son numérateur (dénominateur >0)
on fait un tableau des signes
x 4 + ∞
(x - 1)
(x - 7)
produit
f'(x)
tu mets les signes, tu trouves celui de f'(x), puis les variations de f(x)
même chose pour a) et b)
c) (1/x)' = - 1/x²
f'(x) = 1 - 1/x² = (x² - 1) /x² = (x - 1)(x + 1) / x² (x² toujours positif)
d) √u = u' / (2√u)
u = 4 + 9x u' = 9
f'(x) = [√(4 + 9x)]' = 9 / 2√(4 + 9x)
sur l'intervalle proposé √(4 + 9x) existe et est positif
