Explications étape par étape:
Hello, comme prévu, je m'occupe de ton exo :
Ici, on s'intéresse au bénéfice maximal, il faut donc déjà déterminer la fonction calculant le bénéfice. En toute logique on devine que bénéfice = Recette - coût. Ici, le coût vaut 2 000 € par jour et la Recette vaut R(x) = - x^4 + 6x^3 - 12x^2 + 10x avec R(x) en milliers d'euros. Il faut donc retirer 2 milliers d'euros à R(x) pour avoir la fonction bénéfice que l'on appellera B(x) = - x^4 + 6x^3 - 12 x^2 + 10x - 2 (ça tombe bien, c'est la fonction que l'on voit à droite sur le doc3).
À présent, il faut étudier les variations de B(x) et trouver le maximum, pour cela, il faut dériver. Ça tombe bien, c'est déjà fait dans le doc 3, on a B'(x) = - 2(x-1)^2 * (2x-5).
Étudions à présent le signe de B'(x). Avec un tableau de signes, on prouve que :
B'(x) < 0 sur ]5/2 ; 10[, B'(x) = 0 lorsque x = 5/2, ou 1 et B'(x) >0 sur ]0;1[ union ]1;5/2[.
On en déduit que la fonction B(x) est croissante sur [0; 5/2] et décroissante sur [5/2; 10], le maximum se situe donc en x = 5/2.
Le bénéfice max vaut donc B(5/2) = - 625/ 16 + 750/8 - 300/4 + 25 - 2 = 875/16 - 52 = 43/16 = 2,6875 milliers d'euros.
Finalement, le bénéfice max vaut 2 687,50 €.
