x³=2x+1
x³-2x-1=0
on remarque que pour x=-1 on (-1)³-2(-1)-1=-1+2-1=0 d'où x=-1 solution de x³-2x-1=0
d'où x³-2x-1=(x+1)(ax²+bx+c)=ax³+bx²+cx+ax²+bx+c=ax³+(a+b)x²+(b+c)x+c
avec a=1, a+b=0, b+c=-2 et c=-1
d'où
a=1
a+b=0 => b=-a=-1
c=-1
vérification : b+c=-1+(-1)=-2 cqfd
d'où x³-2x-1=(x+1)(x²-x-1)
On cherche les solutions de x²-x-1=0 est de la forme ax²+bx+c=0
∆=b²-4ac=(-1)²-4(1)(-1)=1=(√5)² donc ∆>0 => 2 solutions x₁ et x₂
x₁=(-b-√∆)2a=(-(-1)-√5)/(2(1))=(1-√5)/2
x₂=(-b+√∆)2a=(-(-1)+√5)/(2(1))=(1+√5)/2
d'où x³-2x-1=(x+1)(x-(1-√5)/2)(x-(1+√5)/2)
les solutions de x³-2x-1=0 sont : S={-1; (1-√5)/2; (1+√5)/2}
