Soit a et b quelconque alors : f(b) – f(a) = –2b2 +160b – [ –2a2 +160a ] = –2b2 +160b + 2a2 – 160a = ‐2 ( b2 – a2 – 80b +80 a) = –2 ( (b – a)(b + a) –80( b – a)) = –2(b – a)( b + a – 80 )
Sur [0; 40] : a < b < 40 donc a < 40 et b < 40 alors a + b <80 a + b – 80 <0 De plus comme a < b alors b – a > 0
f(b) – f(a) = –2(b – a)( b + a – 80 ) > 0 C'est‐à‐dire f(b) – f(a) > 0 donc f(b) > f(a) Conclusion : f est croissante sur [ 0 ; 40 ]
Sur [40 ; 80] : 40 < a < b donc 40 < a et 40 < b 40 alors 80 < a + b 0 < a + b – 80 De plus comme a < b alors b – a > 0
f(b) – f(a) = –2(b – a)( b + a – 80 ) < 0 C'est‐à‐dire f(b) – f(a) < 0 donc f(b) < f(a) Conclusion : f est décroissante sur [ 40 ; 80 ]
b) Sur l'intervalle [0 , 80], la fonction admet un maximum pour x = 40 car elle est croissante avant et décroissante après.
2)
Comment calculer l'aire de baignade :
Aire = x * y
y = 160 – 2 * x
Aire = x * (160 – 2 * x ) = - 2 * x2 + 160 * x
Nous retrouvons la fonction f donc l'aire admet un maximum pour x = 40 m, donc A et Bdoivent être placé à 40 m du rivage.
