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Sagot :
Bonjour,
[tex]1)\ C(x)=x^2+50x+96\\\\C(15)=15^2+50\times15+96\\\\C(15)=225+750+96\\\\C(15)=1071[/tex]
Le coût horaire de fabrication de 15 appareils est égal à 1071 €.
Le prix de vente d'un appareil est 100 €.
Le prix de vente de 15 appareils est 15 * 100 = 1500 €.
Le bénéfice est égal au prix de vente diminué du coût de fabrication.
Le bénéfice pour la vente de 15 appareils est égal à 1500 - 1071 = 429 €
2) Bénéfice = Pris de vente - Coût de fabrication.
[tex]B(x) = 100x - (x^2+50x+96)\\\\B(x) = 100x - x^2-50x-96\\\\B(x)=-x^2+50x-96[/tex]
3) [tex]-x^2+50x-96\ge0[/tex]
Tableau de signes du trinôme.
Racines du trinôme :
[tex]\Delta=50^2-4\times(-1)\times(-96)\\\\\Delta=2500-384\\\\\Delta=2116\\\\x_1=\dfrac{-50-\sqrt{2116}}{2\times(-1)}=\dfrac{-50-46}{-2}=48\\\\x_2=\dfrac{-50+\sqrt{2116}}{2\times(-1)}=\dfrac{-50+46}{-2}=2[/tex]
[tex]\begin{array}{|c|ccccccc|}x&-\infty&&2}&&48&&+\infty \\ -x^2+50x-96&&-&0&+&0&-&\\ \end{array}[/tex]
Le bénéfice sera positif si 2 ≤ x ≤ 48.
Or les contraintes du problème s'expriment par 5 ≤ x ≤ 40
Donc le bénéfice sera positif si 5 ≤ x ≤ 40.
Comme la production est entre 5 et 40 appareils électro-ménagers par heure, l'entreprise aura donc toujours un bénéfice positif.
4) B(x) = -(x - 25)² + 529
B(x) = -(x² - 50x + 625) + 529
B(x) = -x² + 50x - 625 + 529
B(x) = -x² + 50x - 96.
5) B(x) = -(x - 25)² + 529
B(x) - 529 = -(x - 25)²
Or pour tout x réel, nous avons (x - 25)² ≥ 0 (car un carré n'est jamais négatif)
Multiplions les deux membres par (-1) ==> le sens de l'inégalité change.
(-1) * (x - 25)² ≤ 0
-(x - 25)² ≤ 0
Donc B(x) - 529 ≤ 0
B(x) ≤ 529.
B(x) étant inférieur ou égal à 529, B(x) admet un maximum égal à 529.
5) B(x) = -(x - 25)² + 529
B(25) = -(25 - 25)² + 529
B(25) = 0 + 529
B(25) = 529.
Donc B(x) = 529 si x = 25.
7) Par conséquent le bénéfice maximal vaudra 529 € et il sera atteint pour une production égale à 25 appareils par heure.
[tex]1)\ C(x)=x^2+50x+96\\\\C(15)=15^2+50\times15+96\\\\C(15)=225+750+96\\\\C(15)=1071[/tex]
Le coût horaire de fabrication de 15 appareils est égal à 1071 €.
Le prix de vente d'un appareil est 100 €.
Le prix de vente de 15 appareils est 15 * 100 = 1500 €.
Le bénéfice est égal au prix de vente diminué du coût de fabrication.
Le bénéfice pour la vente de 15 appareils est égal à 1500 - 1071 = 429 €
2) Bénéfice = Pris de vente - Coût de fabrication.
[tex]B(x) = 100x - (x^2+50x+96)\\\\B(x) = 100x - x^2-50x-96\\\\B(x)=-x^2+50x-96[/tex]
3) [tex]-x^2+50x-96\ge0[/tex]
Tableau de signes du trinôme.
Racines du trinôme :
[tex]\Delta=50^2-4\times(-1)\times(-96)\\\\\Delta=2500-384\\\\\Delta=2116\\\\x_1=\dfrac{-50-\sqrt{2116}}{2\times(-1)}=\dfrac{-50-46}{-2}=48\\\\x_2=\dfrac{-50+\sqrt{2116}}{2\times(-1)}=\dfrac{-50+46}{-2}=2[/tex]
[tex]\begin{array}{|c|ccccccc|}x&-\infty&&2}&&48&&+\infty \\ -x^2+50x-96&&-&0&+&0&-&\\ \end{array}[/tex]
Le bénéfice sera positif si 2 ≤ x ≤ 48.
Or les contraintes du problème s'expriment par 5 ≤ x ≤ 40
Donc le bénéfice sera positif si 5 ≤ x ≤ 40.
Comme la production est entre 5 et 40 appareils électro-ménagers par heure, l'entreprise aura donc toujours un bénéfice positif.
4) B(x) = -(x - 25)² + 529
B(x) = -(x² - 50x + 625) + 529
B(x) = -x² + 50x - 625 + 529
B(x) = -x² + 50x - 96.
5) B(x) = -(x - 25)² + 529
B(x) - 529 = -(x - 25)²
Or pour tout x réel, nous avons (x - 25)² ≥ 0 (car un carré n'est jamais négatif)
Multiplions les deux membres par (-1) ==> le sens de l'inégalité change.
(-1) * (x - 25)² ≤ 0
-(x - 25)² ≤ 0
Donc B(x) - 529 ≤ 0
B(x) ≤ 529.
B(x) étant inférieur ou égal à 529, B(x) admet un maximum égal à 529.
5) B(x) = -(x - 25)² + 529
B(25) = -(25 - 25)² + 529
B(25) = 0 + 529
B(25) = 529.
Donc B(x) = 529 si x = 25.
7) Par conséquent le bénéfice maximal vaudra 529 € et il sera atteint pour une production égale à 25 appareils par heure.
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