Bonjour,
1) [tex]AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}=\sqrt{(-1+2)^2+(3-0)^2}
[/tex]
[tex]=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}[/tex]
[tex]AC=\sqrt{(x_C-x_A)^2+(y_C-y_A)^2}=\sqrt{(4+2)^2+(-2-0)^2}[/tex]
[tex]=\sqrt{36+4}=\sqrt{40}[/tex]
[tex]BC=\sqrt{(x_C-x_B)^2+(y_C-y_B)^2}=\sqrt{(4+1)^2+(-2-3)^2}[/tex]
[tex]=\sqrt{25+25}=\sqrt{50}[/tex]
BC² = 50
AB³ + AC² = 10 + 40
BC² = AB² + AC² ===> par la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle et l'hypoténuse est le côté [BC].
2) a) Si un triangle rectangle est inscrit dans un cercle, alors son hypoténuse est un diamètre.
Le triangle ABC étant rectangle, il est inscrit dans un cercle de diamètre [BC].
Le centre K de ce cercle sera le milieu de [BC].
[tex]K(\dfrac{x_B+x_C}{2};\dfrac{y_B+y_C}{2})\\\\K(\dfrac{-1+4}{2};\dfrac{3-2}{2})\\\\K(\dfrac{3}{2};\dfrac{1}{2})[/tex]
Le rayon est égal à la moitié du diamètre, soit (1/2)BC.
soit [tex]\dfrac{\sqrt{50}}{2}=\dfrac{\sqrt{25\times2}}{2}=\dfrac{5\sqrt{2}}{2}[/tex]
b) [tex]DK = \sqrt{(\dfrac{3}{2}-4)^2+(\dfrac{1}{2}-3)^2}=\sqrt{(\dfrac{-5}{2})^2+(\dfrac{-5}{2})^2}\\\\=\sqrt{\dfrac{25}{4}+\dfrac{25}{4}}=\sqrt{\dfrac{25}{2}}=\dfrac{\sqrt{25}}{\sqrt{2}}\\\\=\dfrac{5}{\sqrt{2}}=\dfrac{5\sqrt{2}}{2}[/tex]
La longueur DK est égale au rayon ===> K est sur le cercle.
[tex]KF=\sqrt{(3,5-\dfrac{3}{2})^2+(3,5-\dfrac{1}{2})^2}=\sqrt{(3,5-1,5)^2+(3,5-0,5)^2}\\\\=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}[/tex]
La longueur KF est supérieure au rayon ===> F est extérieur au cercle.
3) Une droite est tangente à un cercle si elle est perpendiculaire au rayon passant par le point de contact.
Démontrons que (DF) est perpendiculaire à (KD)
Le produit des coefficients directeurs de deux droites perpendiculaires est égal à -1.
Coefficient directeur de (DF) :
[tex]\dfrac{y_F-y_D}{x_F-x_D}=\dfrac{3,5-3}{3,5-4}=\dfrac{0,5}{-0,5}= -1[/tex]
Coefficient directeur de (KD) :
[tex]\dfrac{y_D-y_K}{x_D-x_K}=\dfrac{3-\dfrac{1}{2}}{4-\dfrac{3}{2}}=\dfrac{2,5}{2,5}= 1[/tex]
Puisque [tex](-1)\times1=-1[/tex] ,les droites (DF) et (KD) sont perpendiculaires.
Donc (DF) est tangente au cercle.
