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Sagot :
Dans un repère orthonormé ( 0 , i , j ) , M ,M' et N le milieu du segment [MM'] , et d
la droite d'équation y=x .
1. M(x;y) et M’(y;x) dans ( 0 ,i , j ) donc N(1/2(x+y) ;1/2(x+y)) yN=xN Donc N appartient à (d)
OM²=x²+y² ; OM’²=x²+y² donc OM=OM’ donc OMM’ isocèle en O donc (d)=(ON)
xM=yM’ et xM’=yM donc M et M’ sont symétriques par rapport à (d)
2. Soit M(x;y) et M'(x';y') deux points symétriques par rapport à la droite d d'équation y=x , P(x;x) et Q(y;y) donc MP²=(y-x)² et MQ²=(y-x)² donc MP=MQ donc M appartient à (d)
donc le quadrilatère PMQM' est un carré
donc vec(MP)=vec(QM’)
vec(MP)(0 ;x-y) et vec(QM’)(x’-y ;y’-y) Donc x’-y=0 et y’-y=x-y donc x'=y et y'=x .
Conclusion : M et M’ sont symétriques par rapport à (d) ssi M(x ;y) et M’(y ;x)
1. M(x;y) et M’(y;x) dans ( 0 ,i , j ) donc N(1/2(x+y) ;1/2(x+y)) yN=xN Donc N appartient à (d)
OM²=x²+y² ; OM’²=x²+y² donc OM=OM’ donc OMM’ isocèle en O donc (d)=(ON)
xM=yM’ et xM’=yM donc M et M’ sont symétriques par rapport à (d)
2. Soit M(x;y) et M'(x';y') deux points symétriques par rapport à la droite d d'équation y=x , P(x;x) et Q(y;y) donc MP²=(y-x)² et MQ²=(y-x)² donc MP=MQ donc M appartient à (d)
donc le quadrilatère PMQM' est un carré
donc vec(MP)=vec(QM’)
vec(MP)(0 ;x-y) et vec(QM’)(x’-y ;y’-y) Donc x’-y=0 et y’-y=x-y donc x'=y et y'=x .
Conclusion : M et M’ sont symétriques par rapport à (d) ssi M(x ;y) et M’(y ;x)
je t’envoie ma réponse quand même en fichier joint.
j'ai tracé les figures ça t'aidera peut-être.
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