Exercice : Une aire maximale
ABC est un triangle isocèle en A avec :
AB = AC = 10cm
H est le pied de la hauteur issue de A
On se propose d'étudier les variations de l'aire du triangle lorsqu'on fait varier la longueur x (en cm) du côté BC
A. Découverte d'une fonction
2. a) Calculer la valeur exacte de l'aire ABC lorsque [tex]x[/tex]=5, puis lorsque [tex]x[/tex]=10.
b) Peut-on avoir [tex]x[/tex]=30 ? Pourquoi ? Dans quel intervalle varie [tex]x[/tex] ?
3. a) Exprimer AH en fonction de [tex]x[/tex].
b) On désigne par [tex]f(x)[/tex] l'aire de ABC
Démontrer que [tex]f(x)[/tex] [tex]f(x) =\frac{x}{4}\sqrt{400-x^{2}}[/tex]
c) Calculer [tex]f(x)[/tex] pour chacune des valeurs entières de [tex]x[/tex] comprises dans l'intervalle (0 ; 20) :arrondir les résultats au dixième et les présenter dans un tableau (Utiliser la calculatrice)
d) Dans un repère orthogonal bien choisi, placer les points de coordonnées [tex](x ; f(x))[/tex]du tableau précédent. Donner alors l'allure de la courbe représentant [tex]f[/tex]
B. Recherche de l'aire maximale
La fonction [tex]f[/tex] admet un maximum pour une valeur [tex]x0[/tex]
2. a )Encadrer [tex]x0[/tex] par deux entiers consécutifs.
b) Recopier et compléter ce tableau (en s'aidant de la calculatrice) :
[tex]x[/tex]
14,1
14,11
14 ,12
14,13
14,14
14,15
14,16
[tex]f(x)[/tex]
En déduitre un encardement "plus fin" de [tex]x0[/tex]
3. Notons K le pied de la hauteur de ABC issue de B
a) Démontrer que l'aire de ABC est égale à 5 BK.
b) Quelle est la nature du triangle ABC lorsque la longueur BK est maximale ?
c) En déduire la valeur exacte de [tex]x0[/tex]