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Exercice 2 :

1) Soit f et g deux fonctions croissantes sur I telles que, pour tout x de I, f(x) et g(x) sont positifs. Démontrez que la fonction p et définie par p(x)=f(x)*g(x) est croissante sur I.

 

2)Et si les deux fonctions sont croissantes et négativs (c'est-à-dire f(x) et g(x) négatifs pour tout x)? Démontrez un résultat général ou donner des contre exemples montrant qu'il peut se passer des "choses" différentes).

 

 

Je suis complétemment bloqué, j'ai fais l'exercice 1 sans problème mais celui-ci je ne comprends même pas l'énnoncé. Si quelqu'un peut m'aider c'est avec joie !! ;)

Sagot :

Exercice 2 :
1) Soit f et g deux fonctions croissantes sur I telles que, pour tout x de I, f(x) et g(x) sont positifs. Démontrez que la fonction p et définie par p(x)=f(x)*g(x) est croissante sur I.  
f et g sont positives donc
f(x)>0 et g(x)>0
f et g sont croissantes donc
f'(x)>0 et g'(x)>0
p'(x)=(f(x)*g(x))'
      =f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)
donc p'(x)>0
donc p est croissante sur IR

2)Et si les deux fonctions sont croissantes et négatives (c'est-à-dire f(x) et g(x) négatifs pour tout x)? Démontrez un résultat général ou donner des contre exemples montrant qu'il peut se passer des "choses" différentes).
si f et g sont négatives
alors f(x)>0 et g(x)<0
exemple :
f(x)=-1/x² sur ]0;+inf[
g(x)=-1/(x^4) sur ]0;+inf[
donc f et g sont croissantes ET négatives sur ]0;+inf[
or p(x)=f(x)*g(x)
         =(-1/x²)*(-1/x^4)
         =1/x^6
donc p(x)>0 sur ]0;+inf[
mais p est décroissante sur ]0;+inf[
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