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Sagot :
1) déterminer la forme algébrique puis trigo du complexe :
Z = (-1 + i √(3)) / (1+i)
=(-1+i√3)(1-i)/(1²+1²)
=(-1+i√3+i+√3)/2
=(-1+√3)/2+i(1+√3)/2
2) en déduire la valeur exactes de cos 5pi/12 et sin 5pi/12
-1+√3i=2 exp(2pi/3)
1+i=2 exp(pi/4)
donc Z=exp(2pi/3-pi/4)=exp(5i pi/12)
donc arg(Z)=5pi/12
donc cos(5pi/12)=(-1+√3)/2
et sin(5pi/12)=(1+√3)/2
b) calculer tan 5pi/12.
tan(5pi/12)=sin(5pi/12)/cos(5 pi/12)
=(-1+√3)/(1+√3)
=(√3-1)²/(1-3)
=(4-2√3)(-2)
=√3-2
Z = (-1 + i √(3)) / (1+i)
=(-1+i√3)(1-i)/(1²+1²)
=(-1+i√3+i+√3)/2
=(-1+√3)/2+i(1+√3)/2
2) en déduire la valeur exactes de cos 5pi/12 et sin 5pi/12
-1+√3i=2 exp(2pi/3)
1+i=2 exp(pi/4)
donc Z=exp(2pi/3-pi/4)=exp(5i pi/12)
donc arg(Z)=5pi/12
donc cos(5pi/12)=(-1+√3)/2
et sin(5pi/12)=(1+√3)/2
b) calculer tan 5pi/12.
tan(5pi/12)=sin(5pi/12)/cos(5 pi/12)
=(-1+√3)/(1+√3)
=(√3-1)²/(1-3)
=(4-2√3)(-2)
=√3-2
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