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bonjour j'ai un dm a rendre pour jeudi et j'ai des réponses m il m'en faut plus alors voila l’énoncer: 
un château de cartes a 1 étages est composée de 2 cartes . 
un château de cartes a 2 étages est composée de 7 cartes .
pour réaliser 3 étages,il faut 15 cartes .

combien faut il de cartes pour réaliser un château de 7 étages? 30 étages ? de 100 étages ?
svp repondez vite 

Sagot :

loulakar
Bonsoir,

Château d’un étage : 2 cartes
Château de 2 étages : 7 cartes
Château de 3 étages : 15 cartes

Pour déterminer le nombre de cartes par étage il faut trouver une formule :

f(n) = an^2 + bn + c

Avec les 3 premiers étages on détermine un système de 3 équations à 3 inconnues :

a + b + c = 2
4a + 2b + c = 7
9a + 3b + c = 15

c = 2 - a - b
On remplace c dans les 2 autres :
4a + 2b + 2 - a - b = 7
9a + 3b + 2 - a - b = 15

3a + b = 5
8a + 2b = 13

b = 5 - 3a
8a + 2(5 - 3a) = 13
8a + 10 - 6a = 13
2a = 3
a = 3/2

On remplace a :
b = 5 - 3a
b = 5 - 3 x 3/2
b = 5 - 9/2
b = 10/2 - 9/2
b = 1/2

On remplace a et b :
c = 2 - a - b
c = 2 - 3/2 - 1/2
c = 2 - 4/2
c = 4/2 - 4/2
c = 0

f(n) = 3/2 x n^2 + 1/2 x n + 0
f(n) = (3n^2 + n)/2

Pour 7 étages :
f(7) = (3 x 7^2 + 7)/2
f(7) = (3 x 49 + 7)/2
f(7) = (147 + 7)/2
f(7) = 154/2 = 77 cartes

Pour 30 étages :
f(30) = (3 x 30^2 + 30)/2
f(30) = 2730/2
f(30) = 1365 cartes

Pour 100 étages :
f(100) = (3 x 100^2 + 100)/2
f(100) = 30100/2
f(100) = 15050 cartes

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