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On s'interesse à la suite [tex](u_{n}) [/tex] définie pour tout n appartenant IN par :
[tex]\left \{ {u_{n+2}=5u_{n+1}-6u_{n}{} \atop {u_{0}=1 etu_{1}=2 }}[/tex]
Démontrez que pour tout n appartenant à IN :
[tex]u_{n} = 2^{n}[/tex]
Merciii d'avance
[tex]U_2=(5\times2)-(6\times1)=10-6=4[/tex]
U0=1
U1=2
U2=4
Il semble que la conjecture [tex]U_n=2^n[/tex] soit vraie.
a) Initialisation :
[tex]U_0=2^0=1[/tex] : La conjecture est vérifiée pour le rang 0
Idem pour les rangs 1 et 2
b) Vérification par réccurence :
Soit : [tex]U_p=2^p[/tex] ; [tex]U_p_+_1=2^p^+^1[/tex] ; [tex]U_p_+_2=2^p^+^2[/tex]
[tex]U_p_+_2=5U_p_+_1-6U_p[/tex]
On remplace par la conjecture :
[tex]U_p_+_2=5\times2^p^+^1-6\times2^p[/tex]
[tex]=5\times2\times 2^p^+^1-6\times2^p=10\times2^p-6\times2^p[/tex]
[tex]=4\times2^p= 2^p\times2^p=2^p^+^2[/tex]
D'après a et b, la conjecture est vérifiée et [tex]U_n=2^n[/tex] à partir du rang 0
