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On considère la suite (Un) définie sur |N par Uo=1 et, pour tout n supérieur ou égal à 0, Un+1=Un+2n+3. 1. Démontrer que, pour tout n de |N, Un strictement supérieur à n². 2. Conjecturer une expression de Un en fonction de n puis démontrer cette conjecture.
Initialisation: On a Uo=1 et 0²=0 Uo>0² donc Po est vraie.
Hérédité: Supposons (Pn) vraie pour un certain entier naturel n. Hyphotèse de récurrence: Un>n² On doit démontrer que Un+1>(n+1)²
de Un>n² on déduit Un+2n>n²+2n Un+2n+3>n²+2n+3 Un+1>n² Pn+1 est donc vraie Po est vraie et Pn est héréditaire, Pn est donc vraie pour tout entier naturel n. Voila pour la question 1)
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