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On considère un rectangle dont le périmètre P est égal à 4 cm.
1. Déterminer ses dimensions (Longueur L et largeur l) sachant que son aire S est égale à 43 cm2.
2. On recherche maintenant les dimensions du rectangle de façon que son aire S soit maximale.
a) ExprimerSenfonctiondel.
b) Onconsidèrelafonctionƒdéfiniesurparƒ(x)=x(2-x).
Calculer la dérivée ƒ' et étudier son signe. Dresser le tableau de variation de ƒ. Tracer la représentation graphique Cƒ de la fonction ƒ sur l'intervalle [0 ; 2].
c) En déduire les dimensions du rectangle dont le périmètre P est égal à 4 cm et l'aire S est maximale.

Sagot :

1. Déterminer ses dimensions (Longueur L et largeur l) sachant que son aire S est égale à 43 cm2.
S=L x l=43
P=2L+2l=4
{L+l=2
{L=43/l
donc 43/l+l=2
donc 43+l²=2l
donc l²-2l+43=0
donc il n'y pas de solution

2. On recherche maintenant les dimensions du rectangle de façon que son aire S soit maximale.
a) Exprimer S en fonction de l.
S=L*l
  =(2-l)*l
  =-l²+2l

b) On considère la fonction ƒ définie sur par ƒ(x)=x(2-x).
Calculer la dérivée ƒ' et étudier son signe. Dresser le tableau de variation de ƒ. Tracer la représentation graphique Cƒ de la fonction ƒ sur l'intervalle [0 ; 2].
f'(x)=-2x+2=2(1-x)
donc f est croissante sur [0;1] et décroissante sur [1;2]

c) En déduire les dimensions du rectangle dont le périmètre P est égal à 4 cm et l'aire S est maximale.
l=1
donc L=1
le rectangle est alors un carré
son aire est S=1 cm²
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