Soit [tex]x[/tex] et [tex]y[/tex] ces deux nombres (avec [tex]x < y[/tex]).
Comme leur différence est de 1, on a :
[tex]y - x = 1[/tex] soit [tex]y = x + 1[/tex]
Leur produit sera donc [tex]xy[/tex],
soit, en remplaçant [tex]y[/tex] : [tex]x(x + 1)[/tex]
d'où [tex]x^2 + x[/tex]
Or le sommet d'une parabole est le point d'abscisse [tex]- \frac{b}{2a}[/tex] soit ici} [tex]-\frac{1}{2}[/tex].
Et comme ici [tex]a > 0[/tex] ce sommet sera un minimum pour cette parabole.
La valeur de [tex]x[/tex] pour laquelle le produit [tex]xy[/tex] sera minimum est donc de [tex]- \frac{1}{2}[/tex]
et la valeur de [tex]y[/tex] sera par conséquent [tex]- \frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2} [/tex]
Les deux nombres recherchés sont donc : [tex]-\frac{1}{2}[/tex] et [tex]\frac{1}{2}[/tex]
pour un produit de : [tex]- \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = - \frac{1}{4} [/tex]
