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Bonjour! je suis bloqué à partir de la question 4 pouvez vous m'aider ? voici l'énoncé: dans un repère orthonormé (O,I,J)on considère les points A (2;1) B(4;-6) C(4,5) D(18;1) le butest de determiner s'il existe un cercle passant par ces 4 points. méthode1: supposer qu'un tel cercle existe sous la forme (x-a)au carré+(y-b) au carré=r au carré 1) en utilisant les cordonnées des A et D calculer a J'AI TROUVE 0 2) en utilisant les cordonnées des B et C calculer a J'AI TROUVE-11 3) calculer r au carré J'AI TROUVE x au carré +y au carré +121 4) vérifier que les 4 points appartiennent bien au cercle dont j'ai déterminé  l'équation 5) conclure en précisant les coordonnées du centre du cercle et son rayon 6) dans cette partie nous doit determiner une équation du cercle circonscrit C au triangle ABC puis vérifier que le point D appartient à ce cercle: 6a) le triangle ABC est il rectangle ? l'un de 3 côtés [AB] [BC] OU [AC] peut il un diamètre de C? 7) déterminer une équation cartésienne de la médiatrice du segment [AC] 8) déterminer une équation cartésienne de la médiatrice du segment [BC] 9) déterminer les coordonnées du centre de C 10) donner une équation du cercle C 11) le point D appartient il à C?

Sagot :

mhaquila

Exercice 5
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Méthode 1
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1)   Comme A et D ont la même ordonnée et une abscisse différente, ils doivent être situés de part et d'autre de la valeur en abscisse du centre du cercle, de telle sorte que cette valeur soit la valeur située à la moitié de leur distance, soit :   a  =  (2 + 18) /2  =  20/2  =  10.

 

 


2)   Comme B et D ont la même abscisse et une ordonnée différente, ils doivent être situés de part et d'autre de la valeur en ordonnée du centre du cercle, de telle sorte que cette valeur soit la valeur située à la moitié de leur distance, soit :   b  =  (−6 + 5)/2 = −1/2  =  −0,5.

 

 

 

3)   Selon les deux points précédents, on a :    (x − 10)² + (y + 0,5)² = r²

 

      Au point A, on a donc :    (2 − 10)² + (1 +0,5)² = 64 − 2,25 = 66,25

 

      Ce qui fait que :   r²  =  66,25

 

 

4)   Le point A est vérifié par le calcul précédent.

 

      Au point B, on a :   (4 − 10)² + (−6 + 0,5)²  =  36 + 30,25  =  66,25

 

      Au point C, on a :   (4 − 10)² + (5 + 0,5)²  =  36 + 30,25  =  66,25

 

      Au point D, on a :   (18 − 10)² + (1 + 0,5)²  =  64 + 2,25  =  66,25

 

 


5)   Les points A, B, C et D sont donc bien situés sur un cercle d'équation :

 

                                (x − 10)² + (y + 0,5)²  =  66,25

 

     de centre   O (10, −0,5)

 

     et de rayon   r  =  √(66,25)   soit environ   8,139

 

 

 

 


Méthode 2
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6)   La longueur AB  =  √[(4 − 2)² + (−6 − 1)²]  =  √(4 + 49)  =  √53

      La longueur BC  =  √[(4 − 4)² + (5 + 6)²]  =  √121  =  11

 

      La longueur AC  =  √[(4 − 2)² + (5 − 1)²]  =  √(4 + 16)  =  √20  =  4√5

 

      Selon le théorème de Pythagore, si ABC est rectangle, on a :

 

                      BC²  =  AB² + AC²   or   53 + 20  =  73 et 73  ≠  121

 

       ABC n'est donc pas rectangle et aucun de ses côtés ne peut être un diamètre de C car pour qu'un côté d'un triangle inscrit dans un cercle soit diamètre du cercle, il faut ce que triangle soit rectangle.

 

 


7)   Comme la droite passant par les point A et C ont pour coefficient directeur :

 

                                 (5 − 1) ÷ (4 − 2)  =  4/2  =  2/1

 

      La médiatrice du segment [AC], lui étant perpendiculaire, est une droite de coefficient : −1/2 et donc d'équation   y  =  −x/2 + b

 

      Comme elle passe par le milieu du segment [AC] d'abscisse (2 + 4)/2 et d'ordonnée (1 + 5)/2 soit de coordonnées (3 ; 3), on a, en ce point :

 

                                3  =  −(3)/2 + b   soit   b  =  6/2 + 3/2  =  9/2

 

      L'équation de la médiatrice du segment [AC] est donc :   y  =  −x/2 + 9/2

 

 


8)   Comme la droite passant par les point B et C tous deux d'abscisse 4 a pour coefficient directeur x = 4 :

 

      La médiatrice du segment [AC], lui étant perpendiculaire, est une droite d'équation y = b

 

      Or cette droite passe par le milieu du segment [BC] d'abscisse (4 + 4)/2 et d'ordonnée (−6 + 5)/2 soit de coordonnées (4 ; −1/2), on a y = −1/2

 

      L'équation de la médiatrice du segment [AC] est donc :   y = −1/2

 

 


9)   C étant le cercle circonscrit au triangle ABC, son centre se trouve à l'intersection des deux médiatrices de [AC] et de [BC] or :

 

                                  −x/2 + 9/2  =  −1/2   si   x  =  9 + 1  =  10

 

      Or en ce point,   y  =  −1/2

 

      Les coordonnées du centre du cercle C sont donc :   O (10 ; −1/2)

 

 


10)   Le cercle C a donc pour équation :   (x − 10)² + (y + 1/2)²  =  r²

 

       Soit en A :   r²  =  (2 − 10)² + (1 + 1/2)²  =  64 + 2,25  =  66,25

 

       L'équation du C est donc   x − 10)² + (y + 1/2)²  =  66,25

 

 


11)   Au point D on a :

 

                           (18 − 10)² + (1 + 1/2)²  =  64 + 2,25  =  66,25  =  r²

 

       Le point D appartient donc bien au cercle C.

 

 

       Pour visualiser tout cela, on trouvera en pièce jointe le schéma.

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