Zoofast.fr offre une plateforme collaborative pour trouver des réponses. Posez vos questions et recevez des réponses complètes et fiables de la part de notre communauté de professionnels expérimentés.

Merci de m'aide en avance

Merci De Maide En Avance class=

Sagot :

Exercice 5 :

---------------

 

1.   Par définition, pour tout   {A ; B} ≥ 0   on a :

 

                   A = √B     ⇔     A² = √B²     ⇔     A² = B

 

 

 


2.   a)   x - √(4x - 19)  =  4                           pour (4x - 19) ≥ 0, soit      pour tout x ≥ 19/4
                            x - 4  =  √(4x - 19)
                        (x - 4)²  =  4x - 19
                x² - 8x + 16  =  4x - 19
              x² - 12x + 35  =  0

 

            Or le discriminant de x² - 12x + 35 est    (-12)² - 4(1)(35)  =  144 - 140  =  4  =  2²

            qui est un nombre positif, on a donc deux racines :
            —   (12 - 2)/2(1) = 10/2 = 5
            —   (12 + 2)/2(1) = 14/2 = 7

 

          Comme l'égalité initiale est possible pour tout x ≥ 19/4 = 4,75

           on a bien deux solutions :        x ∈ {5 ; 7}

 

 

 

       b)                                     √(2x + 3)  -  √(x + 2)   =   2                   pour  {(2x + 3) ; (x + 2) ≥ 0

                                              (√(2x + 3) - √(x + 2))²   =   4                       soit pour tout x ≥ -3/2
              (2x + 3)  -  2√(2x + 3)√(x + 2)  +  (x + 2)   =   4
                          3x + 5 - 2√(2x² + 4x + 3x + 6) - 4   =   0
                                                                        3x + 1   =  2√(2x² + 7x + 6)
                                                              9x² + 6x + 1   =   4(2x² + 7x + 6)
                                                              x² - 22x - 23   =   0

 

           Or le discriminant de x² - 22x - 23 est     (-22)² - 4(1)(-23)  =  484 + 92  =  576  =  24²

           qui est un nombre positif, on a donc deux racines :
           — (22 - 24)/2(1)  =  -2/2  =  -1
          — (22 + 24)/2(1)  =  46/2  =  23

 

          Comme l'égalité iniale est possible x ≥ -3/2,

           on a une solution : x = 23.

 

 


        c)   x² - 6x + 9  =  4√(x² - 6x + 6)                               valable pour (x² - 6x + 6) ≥ 0

              Prenons :    X  =  x² - 6x + 6                                 valable pour tout X ≥ 0

         

              alors           X + 3  =  4√X

                              (X + 3)²  =  16X

                       X² + 6X + 9  =  16X

                      X² - 10X + 9  =  0

             Or le discriminant de X² - 10X + 9 est         (-10)² - 4(1)(9)  =  100 - 36  =  64  =  8²
             qui est un nombre positif, on a donc deux racines :
             — (10 - 8)/2(1) = 2/2 = 1
             — (10 + 8)2(1) = 18/2 = 9

 

             Comme l'égalité initiale était valable pour tout X ≥ 0

              on a deux solutions                   X  ∈  {1 ; 9}

                                      soit         x² - 6x + 6  ∈  {1 ; 9} 

 

             Or      x² - 6x + 6  =  1
              si       x² - 6x + 5  =  0

             Dont les racines sont  1  et  5

 

             Et x² - 6x + 6 = 9

             si x² - 6x - 3 = 0

             Dont les racines sont  (3 - 2√3)  et  (3 + 2√3)

 

             Il y a donc 4 solutions à l'égalité initiale :     x  ∈  {3 - 2√3  ;  1  ;  5  ;  3 + 2√3}

Votre engagement est essentiel pour nous. Continuez à partager vos expériences et vos connaissances. Créons ensemble une communauté d'apprentissage dynamique et enrichissante. Revenez sur Zoofast.fr pour des solutions fiables à toutes vos questions. Merci pour votre confiance.