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soit la fonction f defini par f(x)=x²+x+6
1. donner en justifiant le tableau de variation de la fonction f
2.etudier le signe de f (x) suivant les valeur de x
1) La fonction f(x) = x² + x + 6 a pour dérivée f'(x) = 2x+1
Comme f'(x) est positive pour x ≥ -1/2 :
— la fonction f est décroissante pour x ∈ ] -∞ ; -1/2 ]
— la fonction f est décroissante pour x ∈ [ -1/2 ; +∞ [
2) On sait que f(x) est décroissant jusqu'à x = -1/2 et croissante ensuite
Or pour la valeur la plus basse de la fonction f est :
f(-1/2) = (-1/2)² + (-1/2) + 6 = 1/4 - 1/2 + 6 = 6 - 1/4 = 23/4 > 0
f(x) est donc toujours positive
soit la fonction f defini par f(x)=x²+x+6
1. donner en justifiant le tableau de variation de la fonction f
f(x)=x²+x+6
=x²+x+1/4-1/4+6
=(x+1/2)²+23/4
la fonction g définie par g(x)=x² est :
* décroissante sur ]-∞;0]
* croissante sur [0;+∞[
donc on en déduit que f est :
* décroissante sur ]-∞;-1/2]
* croissante sur [-1/2;+∞[
2.etudier le signe de f (x) suivant les valeur de x
f(x)=x²+x+6
=(x+1/2)²+23/4
or pour tout x réel (x+1/2)² ≥ 0
ainsi f possède un minimum en 23/4>0
donc f(x)>0 pour tout x réel
