on pose pour tout n ≥1 : [tex]u_n=\frac {1}{\sqrt n}[/tex]
[tex]u_{n+1}-u_n=\frac {1} {\sqrt {n+1}}-\frac {1} {\sqrt {n}} \\ =\frac {\sqrt {n}-\sqrt {n+1}} {\sqrt {n^2+n}} \\ [/tex]
donc [tex]u_{n+1}-u_n <0[/tex]
donc la suite [tex](u_n)[/tex] est décroissante
par ailleurs, pour tout n ≥ 1 : [tex]u_n > 0[/tex]
donc [tex](u_n)[/tex] est minorée par 0
ainsi, [tex](u_n)[/tex] est convergente vers une valeur [tex]\lambda[/tex]
or [tex] \lim_{n \to \infty} n = +\infty[/tex]
donc [tex] \lim_{n \to \infty} {u_n} = 0[/tex]