EXERCICE 1 Soit f la fonction définie sur l'intervalle ] 1; 1[ par f(x)=(x^3 + 2*x^2)/x^2-1 et C sa courbe représentative dans un repère orthonormé. Partie A- Étude d'une fonction auxiliaire Soit la fonction g définie sur [−1; 1] par g(x) = x^3 - 3*x – 4. 1) Déterminer les variations de la fonction g puis dresser son tableau de variations sur [−1;1]. 2) En déduire le signe de la fonction g sur [-1;1]. Partie B - Étude de la fonction f 1) Justifier que f est dérivable sur ] – 1;1[ puis que pour tout x €] – 1;1[, on a f'(x) = (x*g(x))/(x^2 - 1)^2 2) En déduire les variations de ƒ sur ] - 1; 1[ et dresser son tableau de variations sur ] - 1 ;1[. 3) Déterminer sur ] - 1; 1[ l'abscisse du point de la courbe où la tangente est parallèle à la droite d d'équation y = x + 2. EXERCICE 2 Soit f une fonction définie sur [-1;5] dont la fonction dérivée f' est représentée ci-dessous : 2) Expression de f(x) On admet que pour tout réel x, on a ƒ(x) = (1/3)*x^3 + a*x^2 + b*x + c, avec a, b et c des réels à déterminer. Sachant que f(0) = -1; ƒ(1) = 1/3 et ƒ(3) = −1, déterminer les valeurs de a, b et c et donner alors l'expression de f(x). 3) Étude de la fonction ƒ On suppose dans cette question que pour tout réel x, f(x) = (1/3)*x^3 – 2*x^2 + 3*x − 1. On appelle T la tangente à Cƒ au point A d'abscisse 2. a) Etudier les variations de la fonction ƒ sur R et vérifier la cohérence avec la question 1 (b). b) Déterminer une équation de T. c) Étudier le signe de f(x) - ((-x)+ (5/3)) sur [-1;5]. (On pourra s'aider du développement de (x-2)^3) d) Interpréter graphiquement le résultat obtenu.