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Réponse :
Explications étape par étape :
Définition :
(un) suit arith ⇔ il existe r ∈ R / ∀ n , Un+1 = Un + r
r est la raison de la suite
On a :
U2+U3+U4 = 15
U2 = U1 + r = (U0 + r )+r = U0 + 2r
U3 = U2 + r = U0 + 2r + r = U0 + 3r
U4 = U3 + r = U0 + 3r +r = U0 + 4r
Donc :
U2+U3+U4 = U0 + 2r + U0 + 3r + U0 + 4r = 3U0 + 9r
Finalement :
3U0 + 9r = 15
U12 = -10
On a :
U0 = ...
U1 = U0+r
U2= U1 + r = U0 + 2r
U3 = U2+r = U0 + 3r
...
Posons : Un = U0 + nr
Démontrons que U(n+1) = U0 + (n+1)r
On a :
U(n+1) = Un+ r
= U0 + nr + r
= U0 + (n+1)r
Donc :
U12 =
U0 + 12r = -10
On obtient le système à 2 inconnues :
3U0 + 9r = 15 et
U0 + 12r = -10
Résolution :
multiplions par 3 la 2e éq.
3U0 + 9r = 15 et
3U0 + 36r = -30
retranchons la 2e de la 1ère
9r-36r = 15+30
-27 r = 45
- 9r = 15
-3r = 5
r = - 5/3
On remplace dans la 1ère :
3 U0 - 9*5/3 = 15
3 U0 - 15 = 15
3U0 = 30
U0 = 10
Vérification :
3U0 + 9r = 15 et
U0 + 12r = -10
⇔
3U0 + 9r = 15
30 -15 = 15
15 = 15 ok
ET
U0 + 12r = -10
10 -20 = -10
-10 = -10 ok
b) terme général :
Un = U0 + nr
Un = 10 -5/3 * n
c) Somme Sn = U0+U1 + .... + Un
= U0 + (U0+r) + .... + (U0 + nr)
on remarque qu'on a U0 'n+1' fois
et en regroupant les r, on a :
Sn = (n+1) U0 + (r + 2r + .... +nr)
Sn = (n+1) U0 + (1 + 2 + ....+ n) r
Déterminons la somme des n premiers entiers
A = 1 + 2 + ....+ (n-1) + n
B = n + (n-1) + ....+ 2 + 1
B est la même série que A, mais à l'envers.
On remarque qu'eb additionnant 2 à 2 les termes, on a toujours la même valeur, soit n+1
Finalement :
A+B = 2A
= n*(n+1)
Donc A = n*(n+1)/2
La somme des n premiers entiers est n(n+1)/2
Donc :
Sn = (n+1) U0 + n(n+1)/2 * r
= 10 (n+1) -5/3 * n(n+1)/2
= 10 (n+1) - 5/6 * n(n+1)
= 10n +10 -5/6 ( n² + n)
= 10n +10 -5/6 n² -5/6 n
= -5/6 n² + (10-5/6) n +10
Finalement :
Sn = -5/6 n² + (55/6) n +10
En espérant qu'il ny ait pas de faute de calcul
Je vérifie dan excel ... c'est ok
Réponse :
Explications étape par étape :
Bonjour
(Un) suite arithmétique de raison r et de 1er terme U0
a) U2 = U0 + 2r
U3 = U0 + 3r
U4 = Uo + 4r
On additionne
U2 + U3 + U4 = 3U0 + 9r
Soit 3U0 + 9r = 15 (1)
U12 = U0 + 12r
Soit U0 +12r = -10 et donc U0 = -10 - 12r
On reporte dans (1)
3(-10 - 12r) + 9r = 15
-30 -36r + 9r = 15
-27r = 45
r = -45/27
r = -5/3
ce qui donne Uo = -10 +12X5/3 = 10
Conclusion U0 = 10 et r = -5/3
b) Un = U0 + nr
Un = 10 -5/3 n
c) Sn = (U0 + Un)/2 X(n+1)
Sn = (20 -5/3n)(n+1)
Sn = (20n + 20 - 5/3n² - 5/3n)/2
Sn = -5/6n² +55/6n + 10
