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Bonsoir, pouvez-vous me dire si j’ai bon aux réponses à mes questions concernant le DM de maths merci !
1. a) Calculer U1, U2 et U3
Placement 1 : Chaque année, la banque nous reverse 13% du capital de départ.
Initialement, le capital est de 500€.
U0 = 500
U1 = 500 + 0.13 x 500 = 500 + 65 = 565
U2 = 565 + 0.13 × 500 = 565 + 65 = 630
U3 = 630 + 0.13 × 500 = 630 + 65 = 695
b) Calculer U1, U2 et U3
Placement 2 : Chaque année, la banque nous reverse 7% du capital de l'année précédente. Initialement, le capital est de 500€.
V0 = 500
V1 = 500 x (1+0.07) = 500 × 1.07 = 535
V2 = 535 x 1.07 = 535 × 1.07 = 572.45
V3 = 572.45 × 1.07 = 572.45 × 1.07 = 612.52
2. Nature des suites Un et Vn :
La suite (Un) est une suite arithmétique (car on ajoute un montant fixe chaque année).
Premier terme U0 = 500
Raison : R = 65 (le montant ajouté chaque année)
La suite (Vn) est une suite géométrique (car on multiplie par un facteur fixe chaque année).
Premier terme V0 = 500
Raison : 9 = 1.07
3. Exprimer Un et Vn en fonction de n :
Pour la suite arithmétique (Un) :
Un = U0 + n x R =500 + 65 n
Pour la suite géométrique (Vn) :
Vn= V0 x qn = 500 × 1.07n
4. Déterminer le plus petit entier n tel
que Un < Vn :
On doit résoudre l'inéquation suivante :
500 + 65 n < 500 × 1.07n
En simplifiant :
65 n < 500 × (1.07n - 1)
Pour trouver le plus petit n, nous devons essayer des valeurs entières de n
Calculons cette inéquation pour différentes valeurs de n :
Pour n = 1: 565 < 535 (Faux)
Pour n = 2: 630 < 572.45 (Faux)
Pour n = 3: 695 < 612.52 (Faux)
Pour n = 4: 760 < 655.39 (Faux)
Pour n = 5: 825 < 701.27 (Faux)
Pour n = 6 : 890 < 750.36 (Faux)
Pour n = 7: 955 < 802.89（Faux）
Pour n = 8: 1020 < 859.09 (Faux)
Pour n= 9: 1085 < 919.23 (Faux)
Pour n = 10: 1150 < 983.58 (Faux)
Pour n = 11: 1215 < 1052.43 (Vrai)
Donc, le plus petit entier n tel que Un < Vn est n = 11.
Interprétation :
À partir de la 11ème année, le placement B (avec 7% d'intérêts composés) devient plus intéressant que le placement A (avec 13% du capital initial ajouté chaque année).
Ps : Quand le « n » est coller au nombre c’est que c’est un petit n en puissance ! Je ne sais pas comment le mettre autrement !
