Bonsoir, j’ai cet exercice à en DM en spécialité Maths 1ere. Je ne comprends pas comment il faut procéder à partir de la question 3-a. Pourtant j’ai essayé dans tous les sens d’autant plus que nous n’avons pas vu ce qu’étaient des lignes de niveau et je ne trouve aucune explication claire sur internet. Merci d’avance pour votre aide.
Lignes de niveau de MA² + MB² + MC²
On considère un triangle ABC de centre de gravité G.
On rappelle que G est le point de concours des trois médianes, qu'il est situé aux deux tiers de chaque médiane
en partant du sommet, et que l'on a : GA + GB + GC = 0
On considère la fonction f qui à tout point M du plan associe f(M) = MA² + MB² + MC²
1. a. Dans cette question, on suppose que AB = 4, AC = 5 et BC = 6.
Calculer f(A) et f(B).
b. Quels sont les triangles ABC pour lesquels f(A) = f(B)?
2. a. Montrer que MA² + MB² + MC² = 3MG2 + MG. GA + MG. GB + MG. GC + GA² + GB² + GC²
b. En déduire que f(M) = 3MG2 + GA² + GB2 + GC²
Aide : dans l'égalité de 2. a., « factoriser » par MG.
3. a. Théorème de la médiane: [AB] étant un segment de milieu I, pour tout point M, on a :
MA² + MB² = 2MI² + AB²
À l'aide de ce théorème, démontrer que : GB² + GC²= GA² + BC2
b. En établissant des relations analogues, démontrer que :
2(GA² + GB² + GC²)=(GA² + GB² + GC²) + (AB² + BC² + CA²)
c. En déduire : f(M) = 3MG² + (AB² + BC² + CA²)
4. Dans cette question, on suppose que AB = 4, AC = 5 et BC = 6.
a. Quel point M réalise le minimum de f(M)?
Aide: utiliser l'expression de f(M) obtenue à la question 3. c.
b. Déterminer la ligne de niveau 24 de la fonction f, c'est-à-dire l'ensemble des points M tels que f(M) = 24.
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c. Déterminer la ligne de niveau
de f.
d. En distinguant plusieurs cas pour la valeur du réel k, déterminer la nature de la ligne de niveau k de f.
