On appelle courbe de Lorenz la représentation graphique d'une fonction L vérifiant les conditions suivantes :
• L est définie sur l'intervalle (0 : 1) :
• L0) = 0 et L(1) = 1 :
• L est croissante sur l'intervalle [0 ; 1)
• L est convexe sur (0 : 1] :
• pour tout réel x de [0 ; 1], L(*) ≤ x.
Partie A • Étude mathématique
Soit fet & les fonctions définies sur [0 : 1) par / (*) = *' et g (s) = x0*-1.
On note &, et %, leurs courbes représentatives dans un repère orthonormé du plan.
1. Montrer que la courbe 6, est une courbe de Lorenz.
2. a. Montrer que, pour tout réel. de (0: 1). g (+) = (2,2 + 1)er-1.
b. En déduire le sens de variation de g sur (0 ; 1].
3. a. Montrer que, pour tout réel r de (0 ; 1), 8"(x) = 2x(2,2 + 3)e*-1.
b. En déduire la convexité de g sur l'intervalle (0 ; 1].
4. Soit h la fonction définie sur R par h(x) = x (1 - e*-1).
a. Déterminer le signe de h (‹) sur l'intervalle [0; 1).
b. En déduire la position relative sur (0 ; 1] de '6 par rapport à la droite D d'équation y = x.
5. La courbe 6, est-elle une courbe de Lorenz ? Justifier.
Partie B • Répartition des salaires
Sur le graphique ci-contre, sont tracées sur l'intervalle (0; 1], les courbes 6, et '€, ainsi que la droite 9.
Les courbes 6, et 6 illustrent ici la répartition des salaires dans deux entreprises F et G. En abscisses, x représente la proportion des employés ayant les salaires les plus faibles par rapport à l'effectif total de l'entreprise. En ordonnées, / (s) (ou 8(c)) représente la proportion de la masse salariale détenue par la proportion x des employés les moins bien payés de l'entreprise F (respectivement G).
Par exemple : Le point M (0,5; 0,125) est un point 0,1 appartenant à la courbe 6. Ainsi, dans l'entreprise
F, 50 % des employés ayant les salaires les plus bas
0,1
détiennent 12,5 % de la masse salariale.
1. Calculer à 0,1 % près le pourcentage de la masse salariale détenu par 80 % des employés ayant les salaires les plus bas dans l'entreprise G.
2. On appelle coefficient de Gini associé à la fonction de Lorenz L, le nombre réel noté y, et
défini par V, = 2 x A, OU A, est l'aire, en unites d'aire, de la surface délimitée par la droite D et la courbe de la fonction L.
de la fonction h (définie en partie A) sur cet intervalle.
a. Montrer que la fonction définie sur (0 ; 1| par # (*) = { * - er-1 est une primitive
b. Calculer la valeur exacte de j*(r)dr.
c. Montrer que le coefficient de Gini pour l'entreprise G est Y=
1
d. Expliquer la phrase suivante : « Plus le coefficient de Gini est petit, plus la répartition des salaires dans l'entreprise est égalitaire ».
e. Dans quelle entreprise la distribution des salaires est-elle plus égalitaire ? Justifier.