Partie A
PROBLEME
On considère la fonction numérique g définie sur 10; +co[ par :
g(x)=1-x²- Inx
-2x-1
1. a) Démontrer que: VxE 10; +[, g'(x) = H
b) Dresser le tableau de variation de g (les limites ne sont pas à calculer).
2. a) Calculer g(1).
b) Justifier que : Vx E10; 1[g(x) > 0.
Vx E]1; +[g(x) < 0.
Partic B
x
Soit la fonction numérique f définie sur ]0; +co[ par f(x) = x+2x et (Cr) sa
courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormé (O, I, J), (unité
graphique : 2 cm).
1. a) Calculer lim f(x).
XATE
b) Calculer lim f(x). Interprétez graphiquement le résultat.
X10
>
2. On admet que f est dérivable sur ]0; +co[ et f' sa dérivée.
a) Démontrer que: V x €]0; +[, f'(x) = g(x)
b) Étudier les variations de f.
c) Dresser le tableau de variation de f.
x2
3. a) Démontrer que la droite (D) d'équation y = -x + 2 est une asymptote à (Cf)
en +co.
b) Étudier les positions relatives de (Cf) et (D).
4. Tracer les asymptotes puis construire (Cr) dans le repère (O, I, J).
Partic C
Soit F la fonction définie sur 10; +co[ par F(x)=(ln x)² + 2x-x².
1. Démontrer que: V x E]0; +oo[, F'(x) = f(x).
2. Calculer, en cm², l'aire A du domaine du plan limité par (Cr), (OI) et les droites
d'équations x = 1 et x =
0
.
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