Exercice I

Soit ABC un triangle rectangle en A. Soit I le milieu de [BC] et P le projeté orthogonal
de A sur [BC].
On considère deux points N sur [AB] et K sur [AC] tels que ANPK est un rectangle.

1. a) Tracer une figure illustrant l'énoncé.

b) Que peut-on conjecturer sur les droites (AI) et (NK)?

2. Montrer 2vecteurAI = vecteurAB + vecteur AC

3. En déduire que vecteur AI scalaire vecteur NK= 1/2 vecteurAB scalaire vecteur NA + 1/2 vecteur AC scalaire vecteur AK

4. Démontrer que l’angle ABC = l’angle AKN.
En déduire que AN × AB = AC × AK.

5. A partir des questions précédentes, montrer la conjecture établie en question 1.b).


Exercice II

ABC est un triangle tel que AB = 5, AC = 4 et l’angle BAC = 60°

1. Calculer vecteur AB scalaire vecteur AC.

2. En remarquant que vecteur BC = vecteur BA + vecteur AC, calculer BC.

3. Calculer vecteur CA scalaire vecteur CB

4. En déduire une valeur approchée de la mesure de l'angle ACB puis de l'angle ABC
au degré près.