Exercice 1 (8 points) Soient ABC un triangle dans le plan(P) et G = bary{(A, -1); (B, 3); (C, 2)} On considère: E = bary{(A, -1); (B, 3)} et F = bary{(A,-1); (C, 2)} et K = bary{(B,3); (C, 2)} 3 1) a) Vérifier que : AE = AB ; AF = 2 AC et BK = BC b) Construire les points E; F et K c) Tracer dans la figure précédente les droites (CE), (BF) et (AK) 2) a) Montrer que G est le milieu du segment [CE] b) Montrer que (CE), (BF) et (AK) sont concourantes en G 3) a) Déterminer AG en fonction de AB et AC b) Montrer que A = bary{(G, 4); (B,-3); (C,-2)} 4) a) Vérifier que: VME (P): -MA+3 MB + 2 MC = 4MG b) Déterminer l'ensemble des points M du plan (P) tel que: ||-MA + 3 MB + 2 MC || = 4||MA - MB + AC|| Exercice 2 (12 points) Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct (0;i; j) Soient A(5; 1); B(-1; 3) et C(1; -1) trois points du plan 1) a) Vérifier que BA(6;-2); AC(-4;-2); BC(2;-4) b) Calculer det(BA; BC); BA.BC et les distances BA et BC c) Calculer Cos(BA; BC) et Sin (BA; BC) d) Déduire la mesure principale d'angle orienté (BA; BC) 2) Déterminer la nature du triangle ABC 3) Calculer la surface du triangle ABC 4) Déterminer les coordonnées de K = bary{(B,3); (C, 2)} (C,2)} 5) a) Soit la droite (D); x-2y+1=0; déterminer les coordonnées de U un vecteur directeur de (D) et n vecteur normal à (D) b) Construire la droite (D) dans le même repère direct (0;i; j) 6) Soient (41) la médiatrice de [AB] et (42) la médiatrice de [AC] et I et J les milieu [AB] et [AC] respectivement a) Déterminer les coordonnées de I et de J b) Déterminer une équation cartésienne de (41) puis de (42) c) Déterminer les coordonnées de 2 le centre du cercle (C) circonscrit au triangle ABC et calculer son rayon R d) Déterminer une équation cartésienne de cercle (C) 7) Déterminer l'ensemble des points M(x; y) de plan tel que: AM. AB = 4
