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Bonsoir,
1) Une équation de tangente à la courbe a pour équation : f'(a)(x-a) + f(a)
la dérivée de la fonction f est :
[tex]f'(x) = 3x^2 + 6x[/tex]
[tex]f'(-1) = 3 \times (-1)^2 + 6 \times (-1) = 3 - 6 = -3[/tex]
[tex]f(-1) = (-1)^3+ 3 \times (-1)^2 + 1 = -1 + 3 + 1 = 3[/tex]
Maintenant nous pouvons calculer l'équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse x = - 1 :
[tex]y = f'(a)(x-a) + f(a)[/tex]
[tex]y= -3(x-(-1) + 3[/tex]
[tex]y = -3(x+1) + 3[/tex]
[tex]y = -3x - 3 + 3[/tex]
[tex]\boxed{y = -3x}[/tex]
2)
[tex]f(x) - (-3x) \iff x^3 + 3x^2 + 1 + 3x[/tex]
[tex](x+1)^3 \iff (x+1)^2(x+1) = (x^2 + 2x + 1)(x+1)[/tex]
[tex]= x^3 + x^2 + 2x^2 + 2x + x +1[/tex]
[tex]= x^3 + 3x^2+3x + 1[/tex]
Ainsi nous pouvons poser l'égalité ci-dessous :
[tex]\forall x \in \mathbb{R}, \ f(x) -(-3x) =(x+1)^3[/tex]
[tex]3) \textnormal{ Il suffit maintenant d'\'etudier le signe de : $(x+1)^3$}[/tex]
[tex]x + 1 \geq 0 \iff x \geq -1[/tex]
Ainsi nous pouvons en conclure que :
[tex]- \ C_f \textnormal{ est en dessous de T sur $]-\infty;-1]$ }[/tex]
[tex]- \ C_f \textnormal{ est au dessus de T sur $[-1;+\infty[$ }[/tex]
