Un artisan fabrique des boîtes à bijoux en bois. Il peut en fabriquer jusqu'à 40 par mois.
On suppose que toute la production est vendue, et chaque boîte est vendue 50€.
Le coût de fabrication en euros de x boîtes est donné par la fonction f définie sur [0:40] par f(x) = x2 + 30x + 300.
1. Quel est le coût de fabrication de 20 boîtes ?
2. On note R(x) la recette, en euros, engendrée par la vente de x boîtes. Exprimer R(x) en fonction de x.
3. Montrer que le bénéfice, en euros, engendrée par la vente de x boîtes est donné par la fonction B définie sur [0:40] par
B(x) = -x² + 20x - 300.
4. Quel est le bénéfice réalisé pour la vente de 20 boîtes ?
5. Montrer que B(x) = -(x + 10)(x-30).
6. Étudier les variations de B sur [0:40].
7. En déduire le bénéfice maximal de l'artisan. Pour combien de boîtes est-il obtenu ?
8. Combien de boîtes l'artisan doit-il fabriquer et vendre pour être rentable?