Bonjour pouvez-vous m’aider svp, j’ai un dm de math à faire pour tout à l’heure.
L'angine chez l'être humain est provoquée soit par une bactérie (angine bactérienne), soit par un virus (angine virale). On admet qu'un malade ne peut pas être à la fois porteur du virus et de la bactérie.
L'angine est bactérienne dans 20 % des cas.
Pour déterminer si une angine est bactérienne, on dispose d'un test. Le résultat du test peut être positif ou négatif. Le test est conçu pour être positif lorsque l'angine est bactérienne, mais il présente des risques d'erreur:
• si l'angine est bactérienne, le test est négatif dans 30 % des cas;
• si l'angine est virale, le test est positif dans 10 % des cas.
On choisit au hasard un malade atteint d'angine. On note les événements suivants.
• B : « L'angine du malade est bactérienne. »
• T: « Le test effectué sur le malade est positif. »
On rappelle que si E et F sont deux événements,
P(E) désigne la probabilité de E et P. (E) désigne la probabilité de E sachant que F est réalisé. On note
E l'événement contraire de E.
1. Représenter la situation par un arbre de probabilité.
Aide: L'ordre des événements est important.
2. a. Quelle est la probabilité que l'angine du malade soit bactérienne et que le test soit positif ?
Aide: Comment calculer la probabilité le long d'un chemin d'un arbre pondéré ?
b. Montrer que la probabilité que le test soit positif est de 0,22.
Aide: On utilise la formule des probabilités totales.
c. Un malade est choisi au hasard parmi ceux dont le test est positif. Quelle est la probabilité pour que son angine soit bactérienne ?
Aide: On retrouve une probabilité conditionnelle.
3. On choisit au hasard cinq malades atteints d'une angine. On peut assimiler ce choix à un tirage avec remise. On note X la variable aléatoire qui compte, parmi les cinq malades choisis, le nombre de malades dont le test est positif.
a. Quelle est la loi de probabilité suivie par X ?
Aide: Il faut reconnaître la loi demandée et la justifier.
b. Calculer la probabilité qu'au moins l'un des cinq malades ait un test positif.
Aide : Quel est le contraire de « au moins un » ?
c. Calculer l'espérance mathématique de X.