La légende du jeu d'echecs 3°
De nombreuses légendes racontent l'invention du jeu d'échecs. La plus célèbre d'entre elles attribue à Sissa, un sage oriental du 5ème siècle après J.-C., l'invention de l'échiquier dans le but de distraire son roi de l'ennui. Le roi fut tant émerveillé lorsque Sissa lui apprit le jeu qu'il lui proposa de choisir la récompense qu'il souhaitait. Le sage lui répondit qu'il voudrait autant de grains de blé nécessaires pour remplir les 64 cases d'un échiquier de la façon suivante :
1 grain sur la première case,
2 sur la deuxième,
4 sur la troisième,
8 sur la quatrième ...
Le roi accepta la demande du sage en se disant que celle-ci était plutôt modeste. Le but de l'exercice est de montrer que le roi a été dupé.
1) a) A l'aide des puissances de 2, indiquer le nombre de grains de blé pour chacune des huit premières cases, pour la 30m et pour la dernière case du jeu.
b) Quelle quantité de grains est-il nécessaire pour remplir tout l'échiquier ? Donner le résultat comme une somme de puissances de 2. (On pourra utiliser des « ...». pour ne pas écrire tous les termes.)
2) a) Vérifier que les expressions suivantes sont vraies.
1+2=2²-1
1 +2 +2²=2³-1
1 +2 +2² +2³ = 2¹-1
1 +2 +2²+ 2^3 + 2^4 + = 2^5 - 1
b) En fait, la formule,
1 + 2 + 22 +2³+ ... +2¹= 2 - 1 est vraie pour tout entier n. Appliquer la pour écrire le plus simplement possible le résultat de la question 1) b).
c) En utilisant la calculatrice, en déduire une valeur approchée du nombre de grains pour tout l'échiquier. Donner le résultat en écriture scientifique.
d) La calculatrice ne permet pas de calculer la valeur exacte de 2". Mais il est possible d'obtenir celle de 2³2. A l'aide de ce résultat et d'une « belle » multiplication à poser, prouver que la quantité exacte de grains est: 18 446 744 073 709 551 615.
3) Dans 1 m³, on peut ranger environ 1,5 million de grains de blé. Le roi dispose d'un grand grenier de 5 m de large sur 10 m de long.
• Quelle hauteur faut-il prévoir si l'on désire stocker la quantité de grains de blé que recevra le sage Sissa? Exprimer le résultat en km. . Comparer cette longueur à la distance de la Terre au Soleil.
4) Que penser de la récompense demandée par Sissa ?