bonjour, quelle qu'un pourrait m'aider s'il vous plaît ?
Exercice 1 Une suite (u) récurrente linéaire d'ordre 2 est une suite où les deux premiers termes sont donnés, et qui vérifie une relation de récurrence Un+2=au(Un+1)+bu(n), où a et b sont des réels.
On appelle polynôme caractéristique de la suite le polynôme x²-ax-b. Lorsque le polynôme possède deux racines réelles x et x₂, alors, on peut écrire u=λx₁*n+ux₂*n où λ et μ (lettres grecques lambda et mu) sont des réels dont les valeurs dépendent des premiers termes de la suite.
Notre objectif est de vérifier cette propriété dans le cas où la suite étudiée est la suite de Fibonacci.
étape 1 : On pose la suite (F) la suite définie par F=F₁=1 et F(n+2)=F+F
a) Quel serait le polynôme caractéristique de la suite ici ?
b) Déterminez les racines de ce polynôme.
étape 2: Supposons que la suite vérifie: F₁=λx₁*n+μx₂*2où x, et x, sont les valeurs trouvées précédemment.
a) Expliquez pourquoi le système suivant est forcément vérifiée : 1=λ+μ= λx₁ + μx₂
b) Résolvez ce système afin de trouver les valeurs de λ et μ.
étape 3 : Nous allons maintenant démontrer que F₁=x+ux pour tout nEN. Vérifiez que cette égalité est vraie à l'aide d'un raisonnement par récurrence.
