Sujet B
1. a. y' + 0,12y = 0,003 équivaut à y' = −0,12y + 0,003.
(E) est donc une équation différentielle du premier ordre de la forme y' = ay + b, avec
a = −0,12 et b = 0,003.
Les solutions de l'équation différentielle y' = ay + b (avec a et b deux réels donnés, a non
nul) sont les fonctions définies sur R par t → Ceat , où C est une constante réelle
quelconque.
a'
Donc la solution générale de l’équation différentielle (E) est définie sur R par :
y(t) = Ce-0,12t
= Ce-0,12t + 0,025, où C E R.
0,003
-0,12
b. La fonction f est une solution de l'équation différentielle (E) donc, d'après la question 1.a,
il existe une constante réelle C telle que f(t) = Ce−0,12t + 0,025 pour tout t > 0.
On sait qu'à l'instant t = 0, la concentration d'octane dans la cuve est égale à 0,5 mol·L¯¹.
Cette condition initiale s'écrit f(0) = 0,5, soit Ce-0,12×0 +0,025 = 0,5, ce qui donne
C = 0,475. Par conséquent, f(t) = 0,475e-0,12t + 0,025 pour tout t > 0.
2. a. On sait que, k étant un nombre réel donné, la dérivée sur R de la fonction x
fonction x →
kekx
Donc, pour tout t > 0, ƒ' (t) = 0,475 × (−0,12) × e¯0,¹²t + 0, soit ƒ'(t) = −0,057e-0,12t
-
b. Pour tout t > 0, e-0,12t> 0 et −0,057 < 0, donc par produit, ƒ' (t) < 0. On en déduit que
la fonction f est strictement décroissante sur [0; +∞[.
3. On cherche le temps t, en minutes, pour lequel la concentration en octane f(t) est égale à
0,25 mol L-¹. On résout alors sur [0; +∞[ l'équation f(t) = 0,25,
soit 0,475e-0,12t + 0,025
0,25-0,025
0,475
soit -0,12t = In (0,275),
0,25, soit e-0,12t =
soit t =
In
0,225
0,475)
-0,12
In(0,225)
≈ 6,23.
-0,12
La fonction f étant décroissante sur [0; +∞[, on déduit donc qu'il faudra 7 min, à la minute
près, pour obtenir une concentration en octane dans la cuve inférieure ou égale à 0,25 mol·L¯²¹.
ekx est la
-. Avec une calculatrice,
4. a. lim e-0,12t = 0 car -0,12 < 0, donc par produit, lim (0,475e-0,12t) = 0 et par
t→+∞
t→+∞
somme, lim (0,475e-0,12t + 0,025) = 0,025, soit_lim_f(t) = 0,025.
t→+∞
t→ +∞
ƒ(60)
0,025
La concentration ne passera jamais au-dessous du seuil 0,025, tout en « s'en approchant ».
Même si on chauffe indéfiniment le mélange, il restera de l'octane non transformé dans la
cuve.
b. 1 h correspond à 60 min et ƒ(60) ≈ 0,0254, ce qui est déjà proche de la concentration limite
trouvée à la question 4.a.
Le calcul ≈ 1,014 donne ƒ (60) ≈ 0,025 × 1,014, soit ƒ(60) ≈ 0,025 × (1+¹4).
On voit donc que la concentration au bout d'une heure est égale à la concentration limite
augmentée de seulement 1,4 % environ.
Il y a donc très peu d'intérêt à poursuivre le processus de transformation au-delà d’une heure.