Problème (8 points)
Soit (un)neN la suite définie par
U₂ = √n+1-√√n
1. a) Montrer que, pour tout entier naturel n> 1:
n> √n²-1
b) Montrer que, pour tout entier naturel n> 1:
√n+1+√n-1≤2√
Indication : on utilisera une identité remarquable pour développer (√n+1+√n−1)²
e) Exprimer un-un-1 en fonction de n, et à l'aide de la question précédente, en déduire le sens de
variation de la suite (un).
2. a) Montrer que, pour tout entier naturel n > 1:
0
Indication : on pourra multiplier u,, "en haut et en bas" par sa quantité conjuguée √n+1+
√n
b) Soit un réel quelconque M > 0. Déduire de la question précédente un rang no tel que, pour tout
entier n 2no on ait 0 ≤ un M.